Constante de Legendre

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La constante de Legendre est une constante mathématique proposée par le mathématicien Adrien-Marie Legendre et qui n'a aujourd'hui plus qu'un intérêt historique.

Avant la découverte du théorème des nombres premiers, on cherchait à évaluer la fonction π(x), le nombre de nombres premiers inférieurs à x.

L'examen des données numériques accumulées pour les nombres premiers connus à l'époque avait conduit Legendre à conjecturer que :

\lim_{x\to+\infty}\left(\ln(x)-\frac x{\pi(x)}\right)=A

A, selon Legendre, devait valoir environ 1,08366.

Ce nombre A a été appelé constante de Legendre.

En 1849, Tchebycheff[1] démontra que si la limite existe, elle doit être égale à 1. Une preuve plus simple a été donnée par Pintz en 1980[2].

C'est une conséquence immédiate du théorème des nombres premiers (qui avait été démontré en 1896 indépendamment par Jacques Hadamard[3] et par Charles-Jean de La Vallée Poussin[4]) sous la forme plus précise

 \pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x \mathrm{e}^{-a\sqrt{\ln x}}\right) \quad\text{lorsque } x \to \infty,

démontrée en 1899 Charles-Jean de La Vallée Poussin[5], que

\pi(x)=\frac x{\ln x}+\frac x{(\ln x)^2}+o\left(\frac x{(\ln x)^2}\right),

et donc que A existe et vaut 1.

Référence[modifier | modifier le code]

  1. Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, page 17. Third (corrected) edition, two volumes in one, 1974, Chelsea 1974.
  2. J. Pintz. On Legendre's prime number formula. Amer. Math. Monthly 87 (1980), 733-735.
  3. Sur la distribution des zéros de la fonction \zeta(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp. 199–220 Online
  4. « Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, p. 183-256 et 281-361
  5. La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1-74, 1899