Constante de Legendre

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Legendre.

La constante de Legendre est une constante mathématique proposée par le mathématicien Adrien-Marie Legendre et qui n'a aujourd'hui plus qu'un intérêt historique.

Avant la découverte du théorème des nombres premiers, on cherchait à évaluer la fonction π(x), le nombre de nombres premiers inférieurs à x.

L'examen des données numériques accumulées pour les nombres premiers connus à l'époque avait conduit Legendre à conjecturer que :

\lim_{x\to+\infty}\left(\ln(x)-\frac x{\pi(x)}\right)=A

A, selon Legendre, devait valoir environ 1,08366.

Ce nombre A a été appelé constante de Legendre.

En 1849, Tchebycheff[1] démontra que si la limite existe, elle doit être égale à 1. Une preuve plus simple a été donnée par Pintz en 1980[2].

C'est une conséquence immédiate du théorème des nombres premiers sous la forme

 \pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x \mathrm{e}^{-a\sqrt{\ln x}}\right) \quad\text{lorsque } x \to \infty,

démontrée en 1896 indépendamment par Jacques Hadamard[3] et Charles-Jean de La Vallée Poussin[4], que

\pi(x)=\frac x{\ln x}+\frac x{(\ln x)^2}+o\left(\frac x{(\ln x)^2}\right),

et donc que A existe et vaut 1.

Référence[modifier | modifier le code]

  1. Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, page 17. Third (corrected) edition, two volumes in one, 1974, Chelsea 1974.
  2. J. Pintz. On Legendre's prime number formula. Amer. Math. Monthly 87 (1980), 733-735.
  3. Sur la distribution des zéros de la fonction \zeta(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp. 199–220 Online
  4. La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1-74, 1899