Constante de Legendre

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La constante de Legendre est une constante mathématique proposée par le mathématicien Adrien-Marie Legendre et qui n'a aujourd'hui plus qu'un intérêt historique.

Avant la découverte du théorème des nombres premiers, on cherchait à évaluer la fonction π(x), le nombre de nombres premiers inférieurs à x.

L'examen des données numériques accumulées pour les nombres premiers connus à l'époque avait conduit Legendre à conjecturer que :

\lim_{x\to+\infty}\left(\ln(x)-\frac x{\pi(x)}\right)=A

A, selon Legendre, devait valoir environ 1,08366.

Ce nombre A a été appelé constante de Legendre.

Plus tard, le mathématicien allemand Gauss examina aussi les données numériques et conclut que la constante A devait être inférieure à la valeur proposée par Legendre[réf. nécessaire].

En 1852, Tchebycheff démontra que, si la limite existe, elle est égale à 1.

En 1899, La Vallée Poussin[1] affina le théorème des nombres premiers, montrant entre autres que le développement asymptotique de li(x) vaut aussi pour π(x), à tout ordre. En particulier

\pi(x)=\frac x{\ln x}+\frac x{(\ln x)^2}+o\left(\frac x{(\ln x)^2}\right),

ce qui équivaut à : la limite existe et est égale à 1.

Référence[modifier | modifier le code]

  1. Sur la fonction ζ(s) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée, Mémoire couronné n° 59 de l'Académie de Belgique, 1899, 79 pages.