Nombres premiers sexy

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En mathématiques, un couple de nombres premiers sexy (ou nombres premiers sexys[1]) est un couple de nombres premiers qui diffèrent de six unités (autrement dit, un couple de la forme « (p,p+6) », p et p+6 étant des nombres premiers). C'est le cas, par exemple, des nombres 5 et 11.

Le terme « sexy » est un jeu de mot basé sur le mot latin pour « six » : sex.

Groupements[modifier | modifier le code]

Couples[modifier | modifier le code]

Les couples de nombres premiers sexy (suites A023201 et A046117 dans l'OEIS) inférieurs à 500 sont :

(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467)

En novembre 2005, le plus grand couple de nombre premiers sexy connu est (p, p+6) pour

p = (48011837012 × ((53238 × 7879#)² - 1) + 2310) × 53238 × 7879# / 385 + 1, où 7879# est une primorielle.

Il est composé de 10 154 chiffres et a été découvert par Torbjörn Alm, Micha Fleuren et Jens Kruse Andersen[2].

Triplets[modifier | modifier le code]

Comme les nombres premiers jumeaux, les nombres premiers sexy peuvent être étendus à des constellations plus grandes.

Les triplets de nombres premiers sexys sont les triplets de nombres premiers de la forme (p, p + 6, p + 12) tels que p + 18 est composé (non premier). Les triplets inférieurs à 1 000 (suites A046118, A046119 et A046120 dans OEIS) sont :

(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983)

En avril 2006, le plus grand triplet de nombres premiers sexy connu est (p, p+6, p+12) pour :

p = (84055657369 × 205881 × 4001# × (205881 × 4001# + 1) + 210) × (205881 × 4001# - 1) / 35 + 1.

Découvert par Ken Davis, il comporte 5 132 chiffres[3].

Quadruplets[modifier | modifier le code]

De façon similaire, on peut définir des quadruplets de nombres premiers sexys (p, p+6, p+12, p+18). À l'exception du quadruplet (5, 11, 17, 23), la représentation décimale de p finit forcément par « 1 ». Les quadruplets inférieurs à 1 000 (suites A046121, A046122, A046123 et A046124 de l'OEIS) sont  :

(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659)

En novembre 2005, le plus grand quadruplet de nombres premiers sexy connu est (p, p+6, p+12, p+18) pour :

p = 411784973 × 2347# + 3301

Il a été découvert par Jens Kruse Andersen et comporte 1 002 chiffres[2].

Quintuplet[modifier | modifier le code]

Comme chaque sixième nombre de la forme 6n - 1 est divisible par 5, le seul quintuplet de nombres premiers sexy existant est (5,11,17,23,29), et il n'est pas possible de trouver une séquence plus longue (sextuplet, etc.)[4].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Selon l’orthographe recommandée depuis les rectifications orthographiques du français en 1990.
  2. a et b (en) Gigantic sexy and cousin primes, message de Jens Kruse Andersen sur PrimeFormGW (PFGW), un groupe de discussion Yahoo! consacré aux tests de primalité, 3 novembre 2005.
  3. (en) The Largest Known CPAP's, sur le site de Jens Kruse Andersen.
  4. Démonstrations détaillées sur le site ChronoMath.