Nombre chanceux

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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec nombre chanceux d'Euler.
Animation montrant les nombres chanceux entre 1 et 120.

En mathématiques, un nombre chanceux est un entier naturel dans un ensemble qui est généré par un « crible » similaire au crible d'Ératosthène qui génère les nombres premiers[1],[2].

Un nombre premier chanceux est un nombre qui est à la fois premier et chanceux.

On commence avec la suite d'entiers démarrant par 1 :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Puis on enlève un nombre sur deux, ce qui ne laisse que les entiers impairs :
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Le deuxième terme de la suite est désormais 3. Ensuite, on enlève un nombre sur trois parmi ceux qui restent dans la liste :
1 3 7 9 13 15 19 21 25
Le troisième nombre survivant est 7. On enlève alors un nombre sur sept parmi ceux qui restent dans la liste :
1 3 7 9 13 15 21 25

Le quatrième nombre survivant est 9. Puis on enlève un nombre sur neuf parmi ceux qui restent dans la liste, etc.

Si l'on répète cette procédure indéfiniment, les survivants sont les nombres chanceux (suite A000959 de l'OEIS) :

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, …

Le terme fut introduit en 1956 dans un article par Gardiner, Lazarus, Metropolis et Ulam[3]. Ils les nommèrent « chanceux » à cause de leur lien avec l'histoire du problème de Josèphe, contée par le chroniqueur Flavius Josèphe.

Il existe une infinité de nombres chanceux. Ils partagent certaines propriétés avec les nombres premiers, tel que le comportement asymptotique en accord avec le théorème des nombres premiers ; la conjecture de Goldbach a été étendue à eux. Les nombres chanceux jumeaux et les nombres premiers jumeaux semblent aussi apparaître avec une fréquence similaire.[réf. souhaitée]

On ignore s'il existe aussi une infinité de nombres premiers chanceux. Les vingt premiers sont (suite A031157 de l'OEIS) : 3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193, 211, 223, 241, 283, 307, 331, 349.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Ivars Peterson (en), « MathTrek: Martin Gardner's Lucky Number », sur www.sciencenews.org.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Lucky Number », MathWorld.
  3. (en) Verna Gardiner, R. Lazarus, N. Metropolis et S. Ulam, « On certain sequences of integers defined by sieves », Mathematics Magazine, vol. 29, no 3,‎ 1956, p. 117-122 (DOI 10.2307/3029719, zbMATH 0071.27002).