Nombre premier cubain

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En mathématiques, un nombre premier cubain est un nombre premier qui est une solution d'un des deux systèmes d'équations suivant, impliquant des puissances troisièmes de « x » et « y », d'où son nom (rôle joué par les cubes).

Ces deux espèces de nombres premiers cubains ont été commentées par A. J. C. Cunningham, dans un article intitulé On quasi-Mersennian numbers et dans son livre Binomial Factorisations.

Première série[modifier | modifier le code]

La première de ces équations est :

p = \frac{(x^3 - y^3)}{(x - y)}, avec x = y + 1 et y > 0\,

En utilisant une identité remarquable et la première relation particulière entre x et y, le nombre premier cubain général de cette première sorte peut être réécrit sous la forme :

3y^2 + 3y + 1, avec y > 0

Ceci est la forme générale exacte d'un nombre hexagonal centré ; c'est-à-dire que tous ces nombres premiers cubains de la première sorte sont des nombres hexagonaux centrés.

Les premiers nombres premiers cubains provenant de cette première équation sont alors (voir suite A002407 de l'OEIS):

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10 267, 11 719, 12 097, 13 267, 13 669, 16 651, 19 441, 19 927, 22 447, 23 497, 24 571, 25 117, 26 227...

En janvier 2006 le plus grand nombre premier cubain de cette première espèce comportait 65 537 chiffres et pouvait s'écrire y = 100000845^{4096}[1] ; il fut trouvé par Jens Kruse Andersen.

Seconde série[modifier | modifier le code]

La deuxième de ces équations est :

p = \frac{(x^3 - y^3)}{(x - y)}, avec x = y + 2 et y > 0

En utilisant la même identité remarquable et la seconde relation particulière entre x et y, le nombre premier cubain général de cette seconde sorte peut être réécrit sous la forme :

3x^2 - 6x + 4 avec x > 2

Les premiers nombres premiers cubains provenant de cette seconde équation sont (voir suite A002648 de l'OEIS) :

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10 093, 12 289, 13 873, 18 253, 20 173, 21 169, 22 189, 28 813, 37 633, 43 201, 47 629, 60 493, 63 949, 65 713, 69 313...

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en)primes.utm.edu Caldwell, Prime Pages.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]