Théorème de la progression arithmétique

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Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, auteur du théorème

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, le théorème de la progression arithmétique, dû au mathématicien allemand Gustav Lejeune Dirichlet, est une généralisation du théorème d'Euclide sur les nombres premiers qui s'énonce de la façon suivante :

« Pour tous les entiers naturels n non nul et m premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers de la forme m + an, où a est un entier positif. »

ce qui est équivalent à l'énoncé suivant :

« Pour tous les entiers n non nul et m premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers dans la classe de m modulo n. »

Ce théorème utilise à la fois les résultats de l'arithmétique modulaire et ceux de la théorie analytique des nombres.

Signification du théorème[modifier | modifier le code]

Ce théorème généralise celui d'Euclide d'après lequel il existe une infinité de nombres premiers. Il indique que si l'on construit un tableau comme le suivant (qui correspond au cas n = 9), alors certaines lignes possèderont au plus un nombre premier, (indiqué en rouge sur la figure) et il sera, s'il existe, toujours en première colonne. Cette configuration se présente ici pour les lignes commençant par 0, 3 et 6. Les autres contiendront toujours un nombre infini de nombres premiers (ici de premier élément 1, 2, 4, 5, 7 et 8).

Les lignes contenant au plus un nombre premier sont celles dont la première valeur contient un diviseur commun avec le nombre dans la première ligne et deuxième colonne.

On peut aller plus loin. La répartition statistique est presque la même dans chaque ligne. Et plus la ligne est longue, plus les répartitions statistiques se ressemblent, pour devenir exactement les mêmes. Vu sous cet angle, les nombres premiers sont remarquablement bien ordonnés. Ce résultat est démontré par le théorème de densité de Tchebotariov, une généralisation du travail de Dirichlet. Dans l'exemple cité, les lignes commençant avec un entier premier avec 9 en contiennent entre 8 et 5, soit une variation inférieure à 40 %. En revanche, si le tableau est prolongé jusqu'à la valeur 1 000, alors le nombre de nombres premiers dans les lignes en contenant une infinité ne varie plus que de 26 à 29, soit une variation de moins de 10 %.

Une autre analyse est réalisée sur l'apparition du premier nombre premier dans une ligne ; elle est l'objet du théorème de Linnik.

 0  9  18  27  36  45  54  63  72  81  90  99  108  117  126  135  144
 1  10  19  28  37  46  55  64  73  82  91  100  109  118  127  136  145
 2  11  20  29  38  47  56  65  74  83  92  101  110  119  128  137  146
 3  12  21  30  39  48  57  66  75  84  93  102  111  120  129  138  147
 4  13  22  31  40  49  58  67  76  85  94  103  112  121  130  139  148
 5  14  23  32  41  50  59  68  77  86  95  104  113  122  131  140  149
 6  15  24  33  42  51  60  69  78  87  96  105  114  123  132  141  150
 7  16  25  34  43  52  61  70  79  88  97  106  115  124  133  142  151
 8  17  26  35  44  53  62  71  80  89  98  107  116  125  134  143  152

Histoire[modifier | modifier le code]

Préhistoire[modifier | modifier le code]

L'intérêt pour les nombres premiers est ancien et omniprésent dans l'histoire des mathématiques. Euclide (vers -325- vers -265) y consacre le chapitre VII de son livre les éléments. On peut aussi citer les travaux de Sun Zi écrit vers l'an 300 établissant une première version[1] du théorème des restes chinois et surtout Qin Jiushao (1202 - 1261) qui en développe une version[2] suffisamment sophistiquée pour dépasser le niveau européen du XVIIIe siècle. George Sarton le considère comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps[3].

Le XVIIe siècle est celui où les mathématiques européennes, et particulièrement françaises se réapproprient le savoir de l'Antiquité et l'apport de la civilisation arabe. En 1621, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac traduit le livre de Diophante d'Alexandrie (env. 200/214 - env. 284/298) intitulé Arithmetica en latin. Pierre de Fermat (1601 - 1665) l'annote[4].

Vers une formalisation[modifier | modifier le code]

Leonhard Euler (1707 - 1783) résout plusieurs équations diophantiennes laissées ouvertes par le siècle précédent. On peut citer ses travaux sur le théorème des deux carrés de Fermat[5] ou sa résolution du grand théorème de Fermat pour le cas ou n est égal à trois, après un premier échec[6]. Dans ce domaine, s'il se montre particulièrement adroit en résolvant pour la première fois des problèmes ouverts depuis parfois plus d'un siècle, il n'est néanmoins pas novateur. Les outils utilisés sont ceux de l'antiquité pour l'arithmétique et les techniques algébriques de son temps.

En 1735, à la suite d'une étude pour la résolution du problème de Mengoli, Euler étudie[7] des produits infinis. Deux ans plus tard, il démontre une étrange formule[8] maintenant nommée produit eulérien. Cette formule relie par exemple un produit infini de nombres premiers avec la surface d'un cercle. Son écriture en série est celle de la fonction ζ de Riemann. Elle offre de plus la première information statistique sur la distribution des nombres premiers.

En 1795, Adrien-Marie Legendre conjecture le théorème de l'article, sans pouvoir le démontrer[9].

En 1801, Carl Friedrich Gauss publie ses célèbres Disquisitiones arithmeticae[10]. Il offre les bases d'une théorie algébrique des nombres, que l'on appelle arithmétique modulaire. Son livre analyse les propriétés des modules ℤ/n et, pour démontrer la loi de réciprocité quadratique, développe un cas particulier de caractère d'un groupe fini : celui des modules si n est un nombre premier.

Apports de Dirichlet[modifier | modifier le code]

En 1837, Dirichlet démontre une première version[11] de son théorème de la progression arithmétique, en supposant que n est premier. Il démontre l'année suivante le cas où n n'est pas premier et en 1841, généralise la démonstration aux entiers de Gauss.

La démonstration est d'un intérêt considérable en arithmétique. Elle relie la nouvelle théorie de Gauss aux idées, apparemment si éloignées, d'Euler. Il enrichit de plus chacune des deux branches.

L'apport algébrique pour la théorie des nombres consiste essentiellement dans le développement de l'analyse harmonique. Dirichlet a travaillé[12] sur les découvertes de Joseph Fourier (1768 - 1830). Pour la démonstration de son théorème il utilise les mêmes méthodes, cette fois pour un groupe abélien fini. Jacobi dit de lui : En appliquant les séries de Fourier à la théorie des nombres, Dirichlet a récemment trouvé des résultats atteignant les sommets de la perspicacité humaine[13]. La théorie des caractères d'un groupe fini pour le cas abélien est pratiquement complète.

Son apport en analyse est non moins innovateur. À chaque caractère, il associe un produit infini analogue à celui d'Euler. Il montre l'équivalence de ces produits à des séries, maintenant nommé série L de Dirichlet dont un cas particulier est la fonction ζ de Riemann. L'essentiel de la démonstration consiste alors à déterminer si l'unité est oui ou non une racine de ces séries. On reconnait là, l'analogie profonde avec l'hypothèse de Riemann. Cet article marque la naissance d'une nouvelle branche des mathématiques : la théorie analytique des nombres avec ses outils fondamentaux : les produits eulériens, ou les séries L de Dirichlet et son intime relation avec l'arithmétique modulaire.

Version quantitative[modifier | modifier le code]

La Vallée Poussin a démontré la version quantitative suivante du théorème, conjecturée par Dirichlet et Legendre. Il s'agit de l'équirépartition, évoquée plus haut, des nombres premiers dans les classes [m] modulo n, pour n non nul et m premiers entre eux :

  • Le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x, dans la suite m + an, est équivalent à Li(x)/φ(n).

Ce théorème généralise le théorème des nombres premiers (qui correspond au cas n = 1 et m = 0) de la même façon que le théorème de la progression généralise le théorème d'Euclide sur les nombres premiers. En 1998, Ivan Soprunov l'a redémontré en quatre pages[14], en utilisant les idées introduites en 1980 par Donald J. Newman (en) dans sa preuve remarquablement simple du théorème des nombres premiers[15],[16].

Démonstration[modifier | modifier le code]

Ici, n désigne un entier strictement positif et m une classe du groupe des unités, noté U, de l'anneau ℤ/n. L'objectif est de montrer que m contient une infinité de nombres premiers. P désigne l'ensemble des nombres premiers et S le demi-plan des complexes de partie réelle strictement supérieure à 1. Si c désigne un nombre complexe, c désigne son conjugué.

Un caractère de Dirichlet est noté par le symbole χ et le groupe des caractères par Û.

La fonction ω (s,u)[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Caractère de Dirichlet.

L'objectif est de définir sur S × U une fonction ω dont le comportement détermine le cardinal de l'ensemble des nombres premiers appartenant à la classe m.

  • La fonction ω, de S × U dans l'ensemble des nombres complexes, définie par la formule suivante, est absolument convergente sur son domaine de définition.
\omega (s,u) = \sum_{p \in \mathcal P}\quad\sum_{k\in\N^*\text{ et }p^k \in u}\frac 1{kp^{ks}}.
  • Si m ne contient qu'un nombre fini de nombres premiers alors ω possède une limite en (1, m).

Une fois cette proposition établie, il suffit, par contraposée, de montrer que la fonction diverge en 1 pour démontrer le théorème.

Délocalisation des nombres premiers[modifier | modifier le code]

La difficulté réside dans le fait que la sommation n'est réalisée que sur les nombres premiers appartenant à m. Euler fournit bien une mesure des nombres premiers, mais elle couvre intégralement ℤ.

Cependant, la fonction ω dépend d'un paramètre u élément d'un groupe abélien fini. Or un tel groupe possède une analyse harmonique très simple. Les fonctions trigonométriques sont remplacées par les caractères et l'on dispose d'une transformée de Fourier et du théorème de Plancherel ; il permet de « délocaliser » l'ensemble des nombres premiers :

  • La fonction ω est égale à l'expression suivante sur son domaine de définition :
\forall s \in S, \quad \forall u \in U, \quad \omega(s,u)=\frac 1{\varphi(n)}\sum_{\chi\in\widehat U}\overline{\chi(u)}\; \log\left(L(s,\chi)\right),\quad\text{avec}\quad L(s,\chi)=\prod_{p \in \mathcal P}\left(1-p^{-s}\chi(p)\right)^{-1}.

Une démonstration est donnée dans le paragraphe « Produit eulérien » de l'article « Caractère de Dirichlet ».

Produit eulérien[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Produit eulérien.

L'expression contient un produit eulérien, il est cependant plus simple de traiter une série traditionnelle. Or Euler a établi un calcul permettant une transformation des produits de ce type en série plus classique.

  • La fonction L(s, χ) qui intervient dans l'expression de ω est égale, sur son domaine de définition, à la série L de Dirichlet :
L(s, \chi) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\chi(k)}{k^s}

Une démonstration est donnée dans le paragraphe « Caractère de Dirichlet » de l'article détaillé.

Série L de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Série L de Dirichlet.

Si χ n'est pas le caractère principal, sa série L de Dirichlet est définie et continue en 1 avec une valeur non nulle (une démonstration est donnée dans le paragraphe « Comportement au point un » de l'article détaillé). En revanche si χ est le caractère principal, sa série L (dont le log est affecté, dans le développement de ω(s, m), du coefficient χ(m) = 1) est la fonction zêta de Riemann, qui diverge au point 1. Ceci permet d'énoncer la proposition suivante, qui termine la démonstration comme annoncé ci-dessus :

  • Pour toute classe m dans U, la fonction ω(s, m) diverge quand s tend vers 1.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Sun Zi, Sunzi suanjing, Manuel de mathématiques, vers 300
  2. Qin Jiushao, Shushu Jiuzhang, Traité de mathématique en neuf chapitres, 1247
  3. (en) Ho Peng Yoke, Li, Qi, and Shu An Introduction to Science and Civilization in China, Hong Kong University Press, 1985, p. 89
  4. Remarques de Pierre de Fermat, dans l’Arithmetica éditée par Pierre Samuel, fils de Fermat, 1670
  5. Leonhard Euler, Correspondance à Goldbach, 12 avril 1749
  6. L. Euler, Algèbre, 1770
  7. L. Euler, « Démonstration de la somme de cette suite 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + etc », Journal lit. d'Allemagne, de Suisse et du Nord, vol. 2,‎ 1743, p. 115-127
  8. (en) G. L. Alexanderson et al., « A tribute to Leonhard Euler », dans Mathematics Magazine, vol. 59, n° 5, 1983, p. 260-325
  9. Adrien-Marie Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, Duprat, 1798
  10. Carl Friedrich Gauss, Recherches arithmétiques, 1801, trad. M. Poullet-Delisle, éd. Courcier, 1807
  11. annoncée dans (de) G. Lejeune Dirichlet, « Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression », Ber. K. Preuss. Akad. Wiss.,‎ 1837, p. 108-110 (lire en ligne) (Werke I, p. 307-312) et développée dans (de) G. Lejeune Dirichlet, « Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression (…) », Abhand. Ak. Wiss. Berlin, vol. 48,‎ 1837, p. 45-81 (lire en ligne) (Werke I, p. 313-342)
  12. Lejeune-Dirichlet, « Solution d'une question relative à la théorie mathématique de la chaleur », J. reine angew. Math., vol. 5,‎ 1830, p. 287-295 (lire en ligne)
  13. (de) W. Ahrens (de), « Briefwechsel zwischen C. G. J. Jacobi und M. H. Jacobi », dans The Mathematical Gazette, vol. 4, n° 71, 1908, p. 269-270
  14. (en) Ivan Soprounov, « A short proof of the Prime Number Theorem for arithmetic progressions »,‎ 1998
  15. (en) D. J. Newman, « Simple analytic proof of the prime number theorem », Amer. Math. Month., vol. 87, no 9,‎ 1980, p. 693-696 (lire en ligne)
  16. (en) D. Zagier, « Newman's short proof of the prime number theorem », Amer. Math. Month., vol. 104, no 8,‎ 1997, p. 705-708 (lire en ligne)

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]