Nombre composé

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Un nombre composé est un entier naturel différent de 0 qui possède un diviseur positif autre que 1 ou lui-même. Par définition, chaque entier plus grand que 1 est donc soit un nombre premier, soit un nombre composé, et les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés.

Par exemple, l'entier 14 est un nombre composé parce qu'il a les nombres 1, 2, 7 et 14 pour diviseurs (quatre diviseurs). Remarquons qu'un carré parfait a toujours un nombre impair de diviseurs (9 a comme diviseurs 1, 3, 9) tandis qu'un entier qui n'est pas un carré parfait a toujours un nombre pair de diviseurs.

Tous les entiers naturels pairs, hormis zéro et deux, sont composés. La méthode permettant de lister tous les entiers naturels impairs composés est appelée crible de Sundaram.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Tous les nombres pairs plus grands que 2 sont composés.
  • Le plus petit nombre composé est 4.
  • Chaque nombre composé peut être écrit comme un produit de nombres premiers (non nécessairement distincts).
  • En outre, (n-1)! \,\,\, \equiv \,\, 0 \pmod{n} pour tous les nombres composés n > 5.
Article détaillé : Théorème de Wilson.

Généralisation aux entiers relatifs[modifier | modifier le code]

Un entier relatif est dit composé si sa valeur absolue est un entier naturel composé. Par exemple : -4 est composé.

Sortes de nombres composés[modifier | modifier le code]

Une manière de classer les nombres composés consiste à compter le nombre de facteurs premiers. Un nombre composé avec deux facteurs premiers est un nombre semi-premier ou un nombre 2-presque premier (les facteurs n'ont pas besoin d'être distincts, par conséquent, les carrés de nombres premiers sont inclus). Un nombre composé avec trois facteurs premiers distincts est un nombre sphénique. Dans quelques applications, il est nécessaire de différencier les nombres composés d'un nombre impair 2x + 1 de facteurs premiers distincts de ceux composés d'un nombre pair 2x de facteurs premiers distincts. Pour ce dernier cas

\mu(n) = (-1)^{2x} = 1\,

(où μ est la fonction de Möbius), tandis que pour le cas précédent

\mu(n) = (-1)^{2x + 1} = -1.\,

Par exemple si x = 0 : μ(1) = 1 et pour tout nombre premier p, μ(p) = –1. Pour un nombre n avec un ou plus de nombres premiers répétés, μ(n) = 0.

Une autre manière de les classer consiste à compter le nombre de diviseurs. Tous les nombres composés ont au moins trois diviseurs. Dans le cas des carrés de nombres premiers, ces diviseurs sont {1, p, p2}. Un nombre n qui possède plus de diviseurs qu'un x < n quelconque est un nombre hautement composé (bien que les deux premiers de ces nombres sont 1 et 2).

Premiers nombres composés[modifier | modifier le code]

Les vingt premiers nombres composés sont (suite A002808 de l'OEIS)

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Composite number » (voir la liste des auteurs)