Théorème de Green-Tao

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Green-Tao, dû aux mathématiciens Ben Green et Terence Tao en 2004[1], s'énonce de la façon suivante :

« La suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues. »

Autrement dit, pour un entier naturel k arbitraire, il existe une suite arithmétique de k termes formée de nombres premiers.

Ce théorème est un cas particulier de la conjecture d'Erdős sur les progressions arithmétiques.

Histoire[modifier | modifier le code]

Théorème de la progression arithmétique[modifier | modifier le code]

Le mathématicien Legendre, à la fin du XVIIIe siècle, avait affirmé sans démonstration le théorème de la progression arithmétique, selon lequel toute suite arithmétique infinie, dont le premier terme n'a pas de diviseur commun avec la raison, contient une infinité de nombres premiers.

Par exemple la suite des nombres impairs 3, 5, 7, 9, 11, ... est une suite arithmétique de raison 2. Comme 3 (le premier terme) et 2 (la raison) n'ont pas de diviseur commun, il y a une infinité de nombres premiers impairs. Cet exemple est évident, car à l'exception de 2, tous les nombres premiers sont impairs (les nombres pairs sont divisibles par 2 donc les nombres pairs autres que 2 ne sont pas premiers). Un exemple moins élémentaire est le suivant : la suite 4, 7, 10, 13, 16, 19..., de raison 3 et de premier terme 4, contient une infinité de nombres premiers. Il y a deux autres suites de raison 3 :

  • 3, 6, 9, 12, 15, 18, ..., constituée de multiples de 3, ne contient aucun autre nombre premier (sauf 3)
  • 2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., contient une infinité de nombres premiers.

La démonstration de ce théorème, due au mathématicien allemand Dirichlet vers 1840, sera à la base d'une nouvelle discipline : la théorie analytique des nombres. Elle utilise des méthodes pour étudier les fonctions d'une variable complexe, afin d'en tirer des conclusions sur les nombres premiers. Il montre même mieux, par exemple que les deux suites de raison 3 citées plus haut (celle commençant par 2 et celle commençant par 1) contiennent en moyenne autant de nombres premiers l'une que l'autre (pourvu que l'on donne un sens convenable au terme « en moyenne »).

Le théorème[modifier | modifier le code]

Énoncé et exemples[modifier | modifier le code]

La question résolue par Green et Tao est différente, mais liée : peut-on trouver des suites arithmétiques finies, mais de longueur arbitrairement grande, constituées uniquement de nombres premiers ?

Par exemple 3, 5, 7 est une suite arithmétique de longueur 3 (et de raison 2) constituée de nombres premiers.

  • 5, 11, 17, 23, 29 est une suite de raison 6 et de longueur 5 ;
  • 7, 37, 67, 97, 127, 157 est une suite de raison 30 et de longueur 6

Précisions et conséquences[modifier | modifier le code]

Green et Tao ont montré que l'on peut trouver de telles suites de longueur aussi grande qu'on le souhaite. Mais leur théorème n'est pas constructif : il établit seulement qu'une telle progression arithmétique de longueur k existe, avec des entiers tous plus petits que :

2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{100k}}}}}}}

(expérimentalement, cette borne semble plutôt devoir être de l'ordre de k!)[note 1]. Il assure également que pour tout entier k et tout réel \delta strictement positif, pour tout x suffisamment grand, si P est un ensemble de nombres premiers inférieurs à x contenant au moins \delta\pi(x) éléments (où \pi(x) est le nombre de nombres premiers inférieurs à x), alors P contient au moins une progression arithmétique de nombres premiers comptant k termes[2].

La technique utilisée a pour nouvelle source d'inspiration la théorie ergodique, une branche de la théorie des systèmes dynamiques. La première utilisation de cette méthode date sans doute des travaux de Hillel Furstenberg, qui redémontra le théorème de Szemerédi. Ce théorème affirme qu'une suite de densité positive possède des sous-suites arithmétiques de longueur arbitraire. Cependant la suite des nombres premiers n'est pas de densité positive. Le tour de force de Green et Tao est justement d'introduire de nouvelles méthodes permettant de contourner cette difficulté.

Recherche sur les suites arithmétiques de nombres premiers[modifier | modifier le code]

La recherche sur les nombres premiers en progression arithmétique concerne plusieurs points : augmenter la longueur de la suite, diminuer la raison pour une longueur donnée, jouer sur la taille du premier terme[3].

  • La plus longue suite connue a été trouvée le 12 avril 2010 par Benoît Perichon et PrimeGrid[4] ; elle est constituée de 26 termes[5] :
43 142 746 595 714 191 + n x [ P(23) x 23 681 770 ]

avec n entier allant de 0 à 25 et P(23), primorielle de 23, valant 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 = 223 092 870.

  • Le 16 mars 2012, une autre suite de même longueur (26 termes de n = 0 à 25), mais de raison plus petite a été découverte par James Fry[4].

Avec les mêmes notations, il s'agit de la suite :

3 486 107 472 997 423 + n x [ P(23) x 1 666 981 ]

Concernant les raisons de ces suites arithmétiques, il a été démontré[6] que, si la suite est de longueur k, la raison est multiple de primorielle de k (notée P(k) ou k#), sauf si k est premier et que la suite commence à k[4]. L'expérience semble indiquer que, pour tout k supérieur à 7, il existerait une suite arithmétique de nombres premiers de longueur k et de raison P(k) et que P(k) serait la plus petite raison possible. En 2003, cette conjecture était validée pour les longueurs allant de 8 à 21[4].

Il semblerait qu'on puisse trouver des suites de longueur k commençant au plus petit nombre premier supérieur ou égal à k. En 2013, cette conjecture était validée pour les longueurs allant de 3 à 19[4].

Si l'on exige de plus que les nombres premiers soient consécutifs, comme pour la suite (3,5,7), on ne sait pas s'il existe des suites de longueur arbitraire. La plus petite suite de quatre nombres premiers consécutifs est (251, 257, 263, 269), et la plus longue suite connue contient dix termes[7].

Note et références[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

  1. Le théorème ne donnant pas de construction directe, le seul moyen d'exhiber une telle suite est une recherche exhaustive. Pour trouver une suite de 30 nombres premiers, cela demande donc d'étudier des nombres de l'ordre de 30 ! \simeq 2,6\ 10^{32} ; outre le temps que commencent à prendre des tests de primalité dans cette zone, il y a un nombre considérable de suites à tester (environ un nombre ayant cet ordre de grandeur sur 75 est premier), ce qui explique que la progression des records (voir plus bas) soit assez lente.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Ben J. Green et Terence Tao, « The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions », Annals of Mathematics, vol. 167,‎ 2008, p. 481-547 (arXiv math.NT/0404188).
  2. Tous ces résultats proviennent de Andrew Granville, Prime Number Patterns, document de vulgarisation qui contient de nombreuses autres conséquences du résultat de Green et Tao.
  3. La page Primes in Arithmetic Progression Records du site de Jens Kruse Andersen répertorie les records obtenus sur ces points depuis 2005
  4. a, b, c, d et e (en) Primes in Arithmetic Progression Records.
  5. suite A204189 de l'OEIS
  6. Pour une version partielle de la démonstration, on peut lire David M. Burton, Elementary Number Theory, chapitre 3.3, p. 55
  7. (en) The largest known CPAP

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bernard Host, « Progressions arithmétiques dans les nombres premiers », Séminaire Bourbaki, t. 47,‎ 2004-2005, p. 229-246 (lire en ligne)