Conjecture de Bateman-Horn

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En mathématiques ainsi que dans la théorie des nombres, la conjecture de Bateman (en)-Horn (non démontrée) est une vaste généralisation de conjectures telles que la conjecture de Hardy et Littlewood sur la densité des nombres premiers jumeaux ou leur conjecture sur les nombres premiers de la forme n2 + 1 ; c'est aussi un renforcement de l'hypothèse H de Schinzel.

Elle fournit une densité conjecturée pour les entiers positifs en lesquels un ensemble donné de polynômes ont tous des valeurs premières. L'ensemble des m polynômes irréductibles distincts à coefficients entiers ƒ1, …, ƒm est tel que le produit ƒ de tous les polynômes ƒi possède la propriété de Bunyakovsky : aucun nombre premier p ne divise f(n) pour chaque entier positif n.

Si P(x) est le nombre d'entiers positifs inférieurs à x tel que tous les polynômes ont pour valeur un nombre premier, alors la conjecture est

P(x) \sim \frac{C}{D} \int_2^x \frac{dt}{(\log t)^m},\,

C est le produit sur les nombres premiers p

C = \prod_p \frac{1-N(p)/p}{(1-1/p)^m}\,

avec N(p), le nombre de solutions mod p de f(n) \equiv 0 \pmod pf est le produit des polynômes fi, et D est le produit des degrés des polynômes.

Souvent, cette conjecture suppose que les polynômes f_i ont le coefficient du terme de plus haut degré positif. C'est une condition non nécessaire si on permet les nombres premiers négatifs (ce qui est raisonnable si vous essayez de formuler la conjecture au-delà du cas classique des nombres entiers), mais en même temps, il est facile de remplacer les polynômes par leurs opposés si nécessaire pour se ramener au cas où les coefficients dominants sont positifs.

La propriété de Bunyakovsky implique

N(p) < p

pour tous les nombres premiers p, donc chaque facteur dans le produit infini C est positif. Intuitivement, on peut alors espérer que la constante C soit elle-même positive, et avec un certain travail, ceci peut être démontré. (Mais un travail est nécessaire, car un produit infini de nombres positifs peut très bien être nul.)

Références[modifier | modifier le code]