Nombre de Woodall

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En théorie des nombres, le n-ième nombre de Woodall est l'entier naturel

\mathcal W_n=n2^n-1.

Les nombres de Woodall ont été étudiés en premier par Cunningham (en) et Woodall (en) en 1917, inspirés par l'étude précédente de James Cullen sur les nombres de Cullen définis de manière similaire. Les premiers sont 1, 7, 23, 63, 159, 383, 895… (suite A003261 de l'OEIS). Les nombres de Woodall, curieusement, surviennent dans le théorème de Goodstein.

Les premiers indices n pour lesquels le nombre de Woodall correspondant \mathcal W_n est premier sont 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384… (suite A002234 de l'OEIS) ; les nombres de Woodall premiers commencent eux-mêmes par 7, 23, 383, 32212254719… (suite A050918 de l'OEIS).

Comme les nombres de Cullen, les nombres de Woodall ont beaucoup de propriétés de divisibilité. Par exemple, si p est un nombre premier, alors p divise

\mathcal W_{\frac{p + 1}2} si le symbole de Jacobi \left(\frac2p\right) est +1 et
\mathcal W_{\frac{3p - 1}2} si le symbole de Jacobi \left(\frac2p\right) est −1.

Il est conjecturé que presque tous les nombres de Woodall sont composés ; une démonstration a été soumise par Hiromi Suyama, mais elle n'a pas encore été vérifiée.

Un nombre de Woodall généralisé est défini comme un nombre de la forme nbn – 1, où n + 2 > b.

Au 26 décembre 2007, le plus grand nombre premier de Woodall connu est 3752948 × 23752948 − 1[1]. Ce nombre de 1 129 757 chiffres a été découvert par l'américain Matthew J. Thompson du projet de calcul distribué PrimeGrid.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Woodall number » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Nombre de Riesel

Liens externes[modifier | modifier le code]