Nombre de Woodall

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En mathématiques, un nombre de Woodall ou nombre de Riesel est un entier naturel de la forme  n\cdot2^n - 1\, (écrit \mathcal W_n\, ). Les nombres de Woodall ont été étudiés en premier par A. J. C. Cunningham et H. J. Woodall en 1917, inspirés par l'étude précédente de James Cullen sur les nombres de Cullen définis de manière similaire. Les premiers petits nombres de Woodall sont 1, 7, 23, 63, 159, 383, 895… (suite A003261 de l'OEIS). Les nombres de Woodall curieusement, surviennent dans le théorème de Goodstein.

Les nombres de Woodall qui sont aussi des nombres premiers sont appelés des nombres premiers de Woodall ; les premiers petits exposants n pour ces nombres premiers de Woodall \mathcal W_n\, sont 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384… (suite A002234 de l'OEIS) ; les nombres premiers de Woodall commencent eux-mêmes par 7, 23, 383, 32212254719… (suite A050918 de l'OEIS).

Comme les nombres de Cullen, les nombres de Woodall ont beaucoup de propriétés de divisibilité. Par exemple, si p est un nombre premier, alors p divise

\mathcal W_{\frac{p + 1}{2}}\, si le symbole de Jacobi \left(\frac{2}{p}\right) est + 1 et
\mathcal W_{\frac{3p - 1}{2}}\, si le symbole de Jacobi \left(\frac{2}{p}\right) est − 1.

Il est conjecturé que presque tous les nombres de Woodall sont composés ; une démonstration a été soumise par Suyama, mais elle n'a pas encore été vérifiée.

Un nombre de Woodall généralisé est défini comme un nombre de la forme  n \cdot b^n - 1\,, où n + 2 > b\,; si un nombre premier peut être écrit dans cette forme, il est alors appelé un nombre premier de Woodall généralisé.

Au 26 décembre 2007, le plus grand nombre premier de Woodall connu est 3752948 × 23752948 − 1[1]. Ce nombre de 1 129 757 chiffres a été découvert par l'américain Matthew J. Thompson du projet de calcul distribué PrimeGrid.

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Notes et références[modifier | modifier le code]