Logarithme intégral

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Logarithme intégral

En mathématiques, le logarithme intégral li est une fonction spéciale définie en tout nombre réel strictement positif x≠1 par l'intégrale :

 {\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{\mathrm dt}{\ln (t)}.

Ici, ln désigne le logarithme naturel.

La fonction t\mapsto 1/\ln (t) n'est pas définie en t = 1, et l'intégrale pour x > 1 doit être interprétée comme la valeur principale de Cauchy :  {\rm li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{\mathrm dt}{\ln (t)} + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{\mathrm dt}{\ln (t)} \right).

Équivalent[modifier | modifier le code]

Quand x tend vers +∞, on a l'équivalent  {\rm li} (x) \sim {x\over \ln (x)}, c'est-à-dire que  \lim_{x\to +\infty} {\rm li} (x)\ln (x)/x=1.

D'après le théorème des nombres premiers, la fonction de compte des nombres premiers π(x) est équivalente à x/ln(x), donc à li(x).

Propriétés[modifier | modifier le code]

La fonction li est liée à l'exponentielle intégrale Ei par la relation li(x) = Ei (ln (x)) pour tout nombre réel strictement positif x ≠ 1. Ceci mène aux développements en séries de li(x), comme : {\rm pour} \; u \ne 0 \;,\quad {\rm li} (e^{u})={\rm Ei}(u)=\gamma + \ln|u|+ \sum_{n=1}^{\infty} {u^{n}\over n \cdot n!}, γ ≈ 0,577 est la constante d'Euler-Mascheroni.

La fonction li a une seule racine, elle se trouve en x ≈ 1,451 ; ce nombre est connu comme étant la constante de Ramanujan-Soldner.

Fonction d'écart logarithmique intégrale[modifier | modifier le code]

La fonction d'écart logarithmique intégrale est une fonction spéciale Li(x) très similaire à la fonction logarithme intégral, définie de la façon suivante :

 \mathrm{Li}(x) = \mathrm{li}(x) - \mathrm{li}(2)=\int_{2}^{x} \frac{\mathrm dt}{\ln (t)}

Une valeur approchée de li(2) est 1,045 163 8[1],[2], alors que Li(2) = 0.

On peut montrer à l'aide d'intégrations par parties successives que, pour tout entier n, on a le développement asymptotique suivant à l'infini de Li (donc aussi de li) :  {\rm Li} (x) = \frac{x}{\ln x} \sum_{k=0}^{n} \frac{k!}{(\ln x)^k} + o\left(\frac{x}{(\ln x)^{n+1}}\right).

Pour n = 0, on retrouve l'équivalent ci-dessus.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Johann Georg von Soldner, Théorie et tables d'une nouvelle fonction transcendante, 1809, p. 48.
  2. Pour plus de décimales, voir par exemple « li(2) », sur WolframAlpha ou la suite A069284 de l'OEIS.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne).