Nombre de Bell

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En mathématiques, le n-ième nombre de Bell, qui porte le nom de Eric Temple Bell, est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments ou, ce qui revient au même, le nombre de relations d'équivalence sur un tel ensemble.

Premières propriétés[modifier | modifier le code]

  • Ces nombres forment la suite A000110 de l'OEIS, dont on peut calculer à la main les premiers termes :
B_0=1,\quad B_1=1,\quad B_2=2,\quad B_3=5,\quad B_4=15,\quad B_5=52,\quad B_6=203,\quad B_7=877,\quad\ldots

Pour le premier, on se convainc qu'il existe exactement une partition de l'ensemble vide : la partition vide, formée d'aucune partie. En effet ses éléments (puisqu'il n'y en a aucun) sont bien non vides et disjoints deux à deux, et de réunion vide.

  • Les nombres de Bell peuvent aussi se calculer de proche en proche par la relation de récurrence suivante, parfois nommée "relation d'Aitken" :
B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} B_k~,

qui peut se démontrer ainsi :
Ayant fixé un élément x dans un ensemble à n+1 éléments, on trie les partitions suivant le nombre k d'éléments hors de la partie contenant x.
Pour chaque valeur de k de 0 à n, il faut donc choisir k éléments parmi les n éléments différents de x, puis s'en donner une partition.

Série génératrice[modifier | modifier le code]

Pour manipuler tous les nombres de Bell, on peut s'intéresser aux séries génératrice et génératrice exponentielle associées, qui sont respectivement :

G(X)=\sum_n B_nX^n \text{ et } E(X)=\sum_n \frac{B_n}{n!}X^n=1+X+2 \frac{X^2}{2!}+5 \frac{X^3}{3!} + 15 \frac{X^4}{4!} + \ldots

La première est par exemple[1] utilisée pour étudier les classes de congruence des B_n. Quant à la seconde série formelle, elle satisfait l'équation différentielle E'(X)=\mathrm{e}^XE(X) : on le constate en écrivant la formule de récurrence sous la forme

(n+1)\frac{B_{n+1}}{(n+1)!}=\sum_{k+l=n}\frac{1}{k!}\frac{B_l}{l!}~.

On en déduit qu'elle est égale à \mathrm{e}^{\mathrm{e}^X} à une constante multiplicative près (qu'on trouve par identification du terme constant) :

E(X)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^X-1}.

L'identification des coefficients conduit à la formule de Dobinski :

B_n=\frac{1}{\mathrm{e}}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}

qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.

D'autres propriétés[modifier | modifier le code]

Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors

B_{p+n}\equiv B_n+B_{n+1}\mod p.

C'est une relation de congruence modulo p.

Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de seconde espèce :

B_n=\sum_{k=1}^n S (n, k)=\sum_{k=1}^n \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}.

Plusieurs formules asymptotiques pour les nombres de Bell sont connues ; l'une d'elles est

B_n  \sim \frac{1}{{\sqrt n }}\left[ {\frac{n}{W(n)}} \right]^{n + \frac{1}{2}} e^{\frac{n}{W(n)} - n - 1},

W est la fonction W de Lambert ; on obtient une approximation moins précise, mais plus commode d'emploi, à l'aide de l'encadrement \ln x-\ln\ln x<W(x)<\ln x ; on pourra également remarquer la similitude de l'approximation précédente avec la formule de Stirling[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Daniel Barsky et Bénali Benzaghou, « Nombres de Bell et somme de factorielles », Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, vol. 16,‎ 2004, p. 1-17 (lire en ligne [PDF])
  2. On trouvera d'autres approximations de B_n sur (en) Eric W. Weisstein, « Bell Number », MathWorld.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]