Nombre de Bell

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En mathématiques, le n-ième nombre de Bell, qui porte le nom de Eric Temple Bell, est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments distincts [1] ou, ce qui revient au même, le nombre de relations d'équivalence sur un tel ensemble.

Premières propriétés[modifier | modifier le code]

  • Ces nombres forment la suite A000110 de l'OEIS, dont on peut calculer à la main les premiers termes :
B_0=1,\quad B_1=1,\quad B_2=2,\quad B_3=5,\quad B_4=15,\quad B_5=52,\quad B_6=203,\quad B_7=877,\quad\ldots

Pour le premier, on se convainc qu'il existe exactement une partition de l'ensemble vide : la partition vide, formée d'aucune partie. En effet ses éléments (puisqu'il n'y en a aucun) sont bien non vides et disjoints deux à deux, et de réunion vide.

  • Les nombres de Bell peuvent aussi se calculer de proche en proche par la relation de récurrence suivante, parfois nommée "relation d'Aitken" :
B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} B_k~,

qui peut se démontrer ainsi :
Ayant fixé un élément x dans un ensemble à n+1 éléments, on trie les partitions suivant le nombre k d'éléments hors de la partie contenant x.
Pour chaque valeur de k de 0 à n, il faut donc choisir k éléments parmi les n éléments différents de x, puis s'en donner une partition.

Série génératrice[modifier | modifier le code]

Pour manipuler tous les nombres de Bell, on peut s'intéresser aux séries génératrice et génératrice exponentielle associées, qui sont respectivement :

G(X)=\sum_n B_nX^n \text{ et } E(X)=\sum_n \frac{B_n}{n!}X^n=1+X+2 \frac{X^2}{2!}+5 \frac{X^3}{3!} + 15 \frac{X^4}{4!} + \ldots

La première est par exemple[2] utilisée pour étudier les classes de congruence des B_n. Quant à la seconde série formelle, elle satisfait l'équation différentielle E'(X)=\mathrm{e}^XE(X) : on le constate en écrivant la formule de récurrence sous la forme

(n+1)\frac{B_{n+1}}{(n+1)!}=\sum_{k+l=n}\frac{1}{k!}\frac{B_l}{l!}~.

On en déduit qu'elle est égale à \mathrm{e}^{\mathrm{e}^X} à une constante multiplicative près (qu'on trouve par identification du terme constant) :

E(X)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^X-1}.

L'identification des coefficients conduit à la formule de Dobinski :

B_n=\frac{1}{\mathrm{e}}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}

qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.

D'autres propriétés[modifier | modifier le code]

Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors

B_{p+n}\equiv B_n+B_{n+1}\mod p.

C'est une relation de congruence modulo p.

Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de seconde espèce :

B_n=\sum_{k=1}^n S (n, k)=\sum_{k=1}^n \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}.

Plusieurs formules asymptotiques pour les nombres de Bell sont connues ; l'une d'elles est

B_n  \sim \frac{1}{{\sqrt n }}\left[ {\frac{n}{W(n)}} \right]^{n + \frac{1}{2}} e^{\frac{n}{W(n)} - n - 1},

W est la fonction W de Lambert ; on obtient une approximation moins précise, mais plus commode d'emploi, à l'aide de l'encadrement \ln x-\ln\ln x<W(x)<\ln x ; on pourra également remarquer la similitude de l'approximation précédente avec la formule de Stirling[3].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Les éléments d'un ensemble sont toujours distincts dans la théorie des ensembles usuelle, mais ce n'est pas le cas dans la théorie des multiensembles. Et, le nombre de partition d'un ensemble à n éléments indiscernables est le nombre de partitions d'un entier.
  2. Daniel Barsky et Bénali Benzaghou, « Nombres de Bell et somme de factorielles », Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, vol. 16,‎ 2004, p. 1-17 (lire en ligne [PDF])
  3. On trouvera d'autres approximations de B_n sur (en) Eric W. Weisstein, « Bell Number », MathWorld.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]