Conjecture

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En mathématiques, une conjecture est une assertion pour laquelle on ne connaît pas encore de démonstration, mais que l'on soupçonne d'être vraie, en l'absence de contre-exemple.

Une conjecture peut être choisie comme hypothèse ou postulat pour étudier d'autres énoncés. Si une conjecture se révèle indécidable relativement au système d'axiomes dans laquelle elle s'insère, elle peut être érigée en nouvel axiome (ou rejetée par la mise en place d'un nouvel axiome).

Dans le langage courant, on désigne comme une conjecture, une hypothèse qui n'a encore reçu aucune confirmation.

Définition et exemples[modifier | modifier le code]

Quand une conjecture est démontrée, elle devient un théorème et rejoint la liste des faits mathématiques. Jusqu'à ce stade de véracité, les mathématiciens doivent donc faire attention lorsqu'ils font appel à une conjecture dans leurs structures logiques et leurs démonstrations.

Par exemple, l'hypothèse de Riemann est une conjecture de la théorie des nombres qui énonce (entre autres choses) des prévisions sur la distribution des nombres premiers. Peu de théoriciens des nombres doutent du fait que l'hypothèse de Riemann soit vraie. Dans l'attente de sa démonstration éventuelle, certains mathématiciens développent d'autres démonstrations qui reposent sur la véracité de cette conjecture. Cependant, ces « démonstrations » tomberaient en morceaux si cette hypothèse de Riemann se révélait fausse. Il y a donc un intérêt mathématique majeur à démontrer ou réfuter des conjectures mathématiques pendantes.

Bien que la plupart des conjectures les plus célèbres aient été vérifiées pour des kyrielles étonnantes de nombres, cela ne constitue pas une garantie contre un simple contre-exemple, qui réfuterait immédiatement la conjecture considérée. Par exemple, la conjecture de Syracuse – qui concerne l'arrêt d'une certaine suite de nombres entiers – a été examinée pour tous les nombres entiers jusqu'à deux élevé à la puissance 62-ième (soit plus de quatre milliards de milliards). Cependant, elle a toujours le statut de conjecture, car on ne peut exclure l'existence d'un contre-exemple au-delà de 262 qui viendrait l'infirmer, bien que l'on sache par des arguments probabilistes que de tels contre-exemples deviennent de plus en plus rares au fur et à mesure que l'on progresse vers des nombres de plus en plus grands, mais « forte vraisemblance » n'est pas « certitude ».

Toutes les conjectures ne finissent pas par être établies comme vraies ou fausses. Par exemple, l'hypothèse du continu - qui essaye d'établir la cardinalité relative de certains ensembles infinis - s'est avérée indécidable à partir de l'ensemble des axiomes généralement admis de la théorie des ensembles. Il est donc possible d'adopter cette assertion, ou sa négation, comme nouvel axiome tout en restant cohérent (comme nous pouvons également accepter le postulat de la parallèle d'Euclide comme vrai ou faux). Pire, le théorème d'incomplétude de Gödel montre que dans toute théorie qui contient l'arithmétique, il existe des propositions qui, quoique démontrables pour chacun des entiers (chaque instance de la proposition par un entier est démontrable), ne peuvent pas être démontrées en tant que théorème sur tous les entiers.

Exemples de conjectures[modifier | modifier le code]

Conjectures résolues[modifier | modifier le code]

Le dernier théorème de Fermat[modifier | modifier le code]

Formulée vraisemblablement en 1637, publiée en 1670, la plus célèbre de toutes les conjectures était celle dénommée le « dernier théorème de Fermat ». Ce n'est qu'après sa démonstration par le mathématicien Andrew Wiles en 1995 que cette conjecture devint théorème. La démonstration consista à prouver un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, problème alors en attente de résolution depuis une quarantaine d'années. On savait en effet que le dernier théorème de Fermat découlait de ce cas particulier. Le théorème complet de Shimura-Taniyama-Weil fut finalement démontré en 1999 par Breuil, Conrad, Diamond (en) et Taylor qui, en s'appuyant sur le travail de Wiles, remplirent par sauts de puce les cas restants jusqu'à la démonstration du résultat complet.

Article détaillé : Dernier théorème de Fermat.

La conjecture de Kepler[modifier | modifier le code]

La plus discutée actuellement, mais aussi la plus ancienne qui puisse être datée précisément, est probablement[réf. nécessaire] la conjecture de Kepler, formulée par Johannes Kepler en 1611 et résolue positivement en 2003 ; la démonstration qui en a été publiée dans le journal Annals of Mathematics a satisfait les experts à 99 %. Une preuve satisfaisante à 100 % reste encore à produire.

Article détaillé : Conjecture de Kepler.

Le problème de Robbins[modifier | modifier le code]

Une conjecture qui a résisté pendant 66 ans est le problème de Robbins (en)[1]. Son intérêt réside dans le fait que la seule solution qui en existe a été produite par un programme d'ordinateur[2].

Conjectures actuelles[modifier | modifier le code]

Les conjectures (non résolues) comprennent à ce jour :

Travaux en cours[modifier | modifier le code]

Le programme de Langlands est un enchaînement de grande envergure qui vise l'unification des conjectures reliant différents champs des mathématiques : la théorie des nombres et la théorie de la représentation des groupes de Lie, certaines de ces conjectures ayant été depuis démontrées.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Robbins Algebras Are Boolean, sur le site de William McCune (en)
  2. (en) William McCune (en), « Solution of the Robbins problem », J. Autom. Reason., vol. 19, no 3,‎ 1997, p. 263-276

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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