Répunit

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Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit est un entier naturel dont l'écriture en base dix ne comporte que des chiffres 1. Ce terme est une contraction de l'expression anglaise repeated unit (répétition de l'unité), utilisée pour la première fois en 1966 par Albert H. Beiler[1].

En français ont été proposées les traductions « nombre polymonadique », ou « multi-as », mais c'est l'anglicisme qui reste le plus utilisé.

Définition[modifier | modifier le code]

Les répunits sont définis en base dix par :

R_n= \frac{10^n-1}{9}\qquad\mbox{pour }n\ge1.

Plus généralement, en base b, les répunits sont donnés par

R_n^{(b)}=\frac{b^n-1}{b-1}=\sum_{k=0}^{n-1}b^k\qquad\mbox{pour }n\ge1.

Ainsi, le nombre R_n^{(b)} s'écrit comme la juxtaposition de n chiffres 1

Exemples[modifier | modifier le code]

Les premiers termes de la suite des répunits sont :

1, 11, 111, 1 111, 11 111, 111 111, 1 111 111 (suite A002275 de l'OEIS).

Les répunits en base 2 (répunits binaires) sont les valeurs de la suite M_n=2^n-1. Les nombres de Mersenne (M_p=2^p-1 avec p un nombre premier) sont donc des répunits binaires.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Les répunits sont des nombres de Zuckerman en toute base.
  • Les répunits en base dix sont des nombres uniformes.
  • Le PGCD des répunits en base b suit la règle :

{\rm pgcd}(R_m^{(b)},R_n^{(b)})=R_{{\rm pgcd}(m,n)}^{(b)}.

  • En particulier, si n est divisible par m, alors Rn(b) est divisible par Rm(b).

Répunits premiers[modifier | modifier le code]

Historiquement, c'est dans le cadre des mathématiques récréatives qu'a été entreprise l'étude des répunits, en tentant notamment de les factoriser. Le projet Cunningham (en) se propose de répertorier les factorisations des répunits[2] en base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, et 12.

D'après la dernière propriété ci-dessus, Rn(b) n'est premier que si n est premier. Mais ce n'est pas une condition suffisante, comme l'illustre ce contre-exemple en base dix :

3 est premier mais R3 = 111 = 3 · 37 est composé[3].

Les répunits premiers sont assez rares (la probabilité qu'un nombre soit premier est a priori égale à l'inverse de son logarithme, donc proportionnelle à l'inverse de son nombre de chiffres ; voir théorème des nombres premiers). On conjecture cependant qu'il en existe une infinité.

Ce qu'il faut noter, par rapport au petit théorème de Fermat, lorsque p est premier : p divise R_p^{(b)}-1 donc b^{R_p^{(b)}-1}-1 est divisible par R_p^{(b)}. b^{R_p^{(b)}} \equiv b \pmod{R_p^{(b)}} lorsque p est premier.

En base dix, Rn est premier pour n = 2, 19, 23, 317, 1031,... (suite A004023 de l'OEIS). R49 081[4], R86 453[5], R109 297[6] et R270 343[7] sont des nombres premiers probables.

Tout répunit premier est premier permutable, c'est-à-dire qu'il reste premier après toute permutation de ses chiffres.

Étant donné un entier n que ne divisent ni 2 ni p, il existe un répunit de base 2p multiple de n[8].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Repunit » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Albert Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, Dover 1966 (ISBN 978-0-486-21096-4), chap. 11.
  2. (en) Factorizations of 2^n-1, n odd, n<1200 sur Cunningham project. Pour ceux en base dix, voir aussi (en) Repunits and their prime factors sur World!Of Numbers.
  3. Explications complémentaires dans (en) Repunit sur The Prime Pages par Chris Caldwell .
  4. (en) Harvey Dubner, « New Probable prime Repunit, R(49081) », Number Theory List,‎ 9 septembre 1999.
  5. (en) Lew Baxter, « R86453 is a New Probable Prime Repunit », Number Theory List,‎ octobre 2000.
  6. (en) Harvey Dubner, « New Probable Prime Repunit, R(109297) », Number Theory List,‎ 3 avril 2007.
  7. (en) Maksym Voznyy, « New Probable Prime Repunit R(270343) », Number Theory List,‎ 15 juillet 2007.
  8. (en) Richard Rothwell, « A possibly interesting mathematical proof », PmWiki,‎ 7 août 2005.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer,‎ 1996 (ISBN 978-0-387-94457-9).

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Repunit », MathWorld