Nombre premier délicat

Un nombre premier délicat, est un nombre premier tel que, si l'on considère son écriture en base 10^[a], la modification d'un seul chiffre transforme le nombre de départ en un nombre composé^[1]^,^[2]. Leur étude a été proposée en 1978 par Murray S. Klamkin (en) et se poursuit encore en 2021^[1].

Définition et premier exemple[modifier | modifier le code]

On dit qu'un nombre premier $p$ est un nombre premier délicat, si son écriture décimale à $k$ chiffres $p=a_{k-1}a_{k-2}\dots a_{1}a_{0}$ est telle que tout remplacement d'une décimale $a_{i}$ (avec $i\in [0;k-1]$ ) a pour résultat un nombre composé. Comme il existe $(10-1)\times k=9k$ remplacements possibles^[b], identifier un nombre premier délicat nécessite de prouver la non-primalité de beaucoup de nombres ; la délicatesse d'un nombre à 11 chiffres nécessite donc d'établir que les $9\times 11=99$ nombres à 11 chiffres correspondants sont des nombres composés.

En base 10, le plus petit nombre premier délicat est 294 001^[1]^,^[3]. Cela signifie que 294 001 est premier mais que, par exemple, 274 001^[c], 294 005^[d], 294 031^[e], 294 101^[f], 296 001^[g] ou encore 394 001^[h] sont composés^[i].

Les plus petits nombres premiers délicats[modifier | modifier le code]

Il est possible d'étudier la délicatesse dans d'autres bases que la base 10, par exemple dans les bases 2 à 9. Le plus petit nombre premier délicat dans chacune d'elles est ^[1]^,^[3]:


Base	Écriture dans la base	En base 10
2	1 111 111₂	127
3	2₃	2
4	11 311₄	373
5	313₅	83
6	334 155₆	28 151
7	436₇	223
8	14 103₈	6 211
9	3 738₉	2 789

En numération décimale, les premiers nombres premiers délicats sont :

294 001, 505 447, 584 141, 604 171, 971 767, 1 062 599, 1 282 529, 1 524 181, 2 017 963, 2 474 431^[4].

En 2007, il a été établi que le nombre à mille chiffres $(17\times 10^{1000}-17)/99+21686652$ est délicat^[5].

Répartition[modifier | modifier le code]

Il a été montré en 1978 par Paul Erdős qu'il existe une infinité de nombres premiers délicats^[1]^,^[2]. De plus, Terence Tao a démontré en 2011 qu'en base 10 l'ensemble des nombres délicats a une densité strictement positive dans l'ensemble des nombres premiers^[1]^,^[6]: les nombres premiers délicats ne se raréfient donc pas par rapport aux nombres premiers, contrairement aux nombres premiers par rapport aux entiers naturels. La densité exacte des nombres délicats dans l'ensemble des nombres premiers n'est pas connue avec certitude, mais elle est minorée par $5\times 10^{-756576}$ et semble être voisine de 0,00005^[1].

Nombres premiers gravement délicats[modifier | modifier le code]

En 2021, Michael Filaseta, de l'université de Caroline du Sud a proposé d'étudier un sous-ensemble des nombres premiers délicats tels que si l'on ajoute à l'un d'eux une infinité de 0 avant le chiffre de poids fort puis que l'on modifie l'un de ces 0 on obtienne systématiquement un nombre composé^[1]. De tels nombres sont appelés nombres premiers gravement délicats (en anglais widely digitally delicate prime)^[7]. Avec son doctorant, il a établi que cet ensemble est infini, de densité strictement supérieure à $5\times 10^{-756576}$ et qu'il est possible de trouver des suites de longueur arbitraire de nombres premiers consécutifs qui soient gravement délicats^[1]^,^[2]^,^[j]. Ce résultat illustre le fait que les nombres premiers se font de plus en plus rares parmi les grands nombres, et donc qu'il est de moins en moins probable d'obtenir un nombre premier en substituant un chiffre par un autre^[1].

Aucun tel nombre n'est pourtant connu avec certitude, bien qu'un travail non encore publié de 2021 semble en avoir identifié un commençant par 903 663, se terminant par 399 249 et s'écrivant avec 4 030 chiffres^[1].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

↑ La notion de délicatesse peut s'étendre de façon analogue à n'importe quelle base, mais certains théorèmes présentés dans l'article sont propres à la base 10.
↑ Chacun des $k$ chiffres peut, en base 10, être modifié de 9 façons différentes.
↑ $274001=7\times 39143$ .
↑ $294005=5\times 58801$ .
↑ $294031=29\times 10139$ .
↑ $294101=19\times 294101$ .
↑ $296001=9\times 32889$ .
↑ $394001=47\times 8383$ .
↑ Pour être complète, la preuve de délicatesse devrait traiter les $9\times 6=54$ remplacements possibles au lieu des six proposés ici.
↑ Le raisonnement utilisé est vulgarisé dans (en) [vidéo] Stand-up Maths, How do you prove a prime is infinitely fragile? sur YouTube ; il consiste schématiquement à appliquer le théorème de la progression arithmétique à une suite arithmétique construite pour que tout nombre premier de la suite soit gravement délicat.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Delicate prime » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a b c d e f g h i j et k} Jean-Paul Delahaye, « Des nombres premiers robustes ou délicats », Pour la Science, n^o 526,‎ août 2021, p. 80-85 (lire en ligne).
↑ ^{a b et c} (en) Steve Nadis, « Mathematicians Find a New Class of Digitally Delicate Primes », sur Quanta Magazine, 30 mars 2021 (consulté le 1^er avril 2021)
↑ ^{a et b} (en) Les Reid, « Solution to Problem #12 », sur Missouri State University's Problem Corner (consulté le 18 février 2011)
↑ suite A050249 de l'OEIS.
↑ (en) Carlos Rivera, « Puzzle 17 – Weakly Primes », sur The Prime Puzzles & Problems Connection (consulté le 18 février 2011)
↑ Terence Tao, « A remark on primality testing and decimal expansions », Journal of the Australian Mathematical Society (en), vol. 91, n^o 3,‎ 2011, p. 405–413 (DOI 10.1017/S1446788712000043, arXiv 0802.3361, S2CID 16931059)
↑ (en) Michael Filaseta, Jacob Juillerat, « Consecutive primes which are widely digitally delicate », 2021.

Arithmétique et théorie des nombres

[1] La notion de délicatesse peut s'étendre de façon analogue à n'importe quelle base, mais certains théorèmes présentés dans l'article sont propres à la base 10.

[4] Chacun des $k$ chiffres peut, en base 10, être modifié de 9 façons différentes.

[6] $274001=7\times 39143$ .

[7] $294005=5\times 58801$ .

[8] $294031=29\times 10139$ .

[9] $294101=19\times 294101$ .

[10] $296001=9\times 32889$ .

[11] $394001=47\times 8383$ .

[12] Pour être complète, la preuve de délicatesse devrait traiter les $9\times 6=54$ remplacements possibles au lieu des six proposés ici.

[17] Le raisonnement utilisé est vulgarisé dans (en) [vidéo] Stand-up Maths, How do you prove a prime is infinitely fragile? sur YouTube ; il consiste schématiquement à appliquer le théorème de la progression arithmétique à une suite arithmétique construite pour que tout nombre premier de la suite soit gravement délicat.

[PlS526-2] {a b c d e f g h i j et k} Jean-Paul Delahaye, « Des nombres premiers robustes ou délicats », Pour la Science, n^o 526,‎ août 2021, p. 80-85 (lire en ligne).

[:12-3] {a b et c} (en) Steve Nadis, « Mathematicians Find a New Class of Digitally Delicate Primes », sur Quanta Magazine, 30 mars 2021 (consulté le 1^er avril 2021)

[reid-5] {a et b} (en) Les Reid, « Solution to Problem #12 », sur Missouri State University's Problem Corner (consulté le 18 février 2011)

[13] suite A050249 de l'OEIS.

[14] (en) Carlos Rivera, « Puzzle 17 – Weakly Primes », sur The Prime Puzzles & Problems Connection (consulté le 18 février 2011)

[15] Terence Tao, « A remark on primality testing and decimal expansions », Journal of the Australian Mathematical Society (en), vol. 91, n^o 3,‎ 2011, p. 405–413 (DOI 10.1017/S1446788712000043, arXiv 0802.3361, S2CID 16931059)

[16] (en) Michael Filaseta, Jacob Juillerat, « Consecutive primes which are widely digitally delicate », 2021.

[a]

[1]

[2]

[b]

[3]

[c]

[d]

[e]

[f]

[g]

[h]

[i]

[4]

[5]

[6]

[7]

[j]