Partie entière et partie fractionnaire
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En mathématiques et en informatique, la partie entière (si non précisé : par défaut) d'un nombre réel est l'entier qui lui est immédiatement inférieur ou égal. Pour un nombre réel x, elle se note usuellement E(x), où la lettre E désigne la fonction partie entière (par défaut).
La notation [x] est aussi utilisée mais a tendance à être remplacée par la notation anglo-saxonne qui utilise des symboles similaires pour la partie entière par défaut (floor, « plancher ») et la partie entière par excès (ceiling, « plafond ») :
La partie entière ne doit pas être confondue avec la troncature à l'unité d'un nombre, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les nombres négatifs. Par exemple, la partie entière de − 1,5 vaut − 2, tandis que sa troncature à l'unité vaut − 1.
La différence entre un nombre x et sa partie entière par défaut est appelée partie fractionnaire et se note 
.
Sommaire |
[modifier] Propriétés générales
La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif strictement inférieur à 1.
Tout réel x vérifie les propriétés suivantes :
;
et pour tout entier n strictement positif :
- On en déduit que si m et n sont des entiers naturels premiers entre eux alors
[modifier] Fonction partie entière
La fonction partie entière n’est pas continue sur les valeurs entières, mais est semi-continue à droite et supérieurement.
Sa dérivée au sens des distributions est le peigne de Dirac.
[modifier] Fonction partie fractionnaire
Elle est semi-continue à gauche et supérieurement. Elle est aussi périodique de période 1 et admet une décomposition en série de Fourier sous la forme
aux points x non entiers.
[modifier] Fonction partie entière par excès
Aussi appelée « fonction plafond », elle peut se définir par l'expression :
Elle est semi-continue à gauche et inférieurement.
En outre, pour tout entier relatif k,
