Partie entière et partie fractionnaire

Pour les articles homonymes, voir Partie et Entier (homonymie).

Représentation graphique de la fonction « partie entière »

En mathématiques et en informatique, la partie entière (si non précisé : par défaut) d'un nombre réel est l'entier qui lui est immédiatement inférieur ou égal. Pour un nombre réel $x$, elle se note usuellement $\mathrm E(x)$, où la lettre $\mathrm E$ désigne la fonction partie entière (par défaut).

La notation $[x]$ est aussi utilisée mais a tendance à être remplacée par la notation anglo-saxonne qui utilise des symboles similaires pour la partie entière par défaut (floor, « plancher ») et la partie entière par excès (ceiling, « plafond ») :

$\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor +1,$

et

$\lceil x \rceil - 1 < x \le \lceil x \rceil.$

La partie entière ne doit pas être confondue avec la troncature à l'unité d'un nombre, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les nombres négatifs. Par exemple, la partie entière de $-1,5$ vaut $-2$, tandis que sa troncature à l'unité vaut $-1$.

La différence entre un nombre $x$ et sa partie entière par défaut est appelée partie fractionnaire et se note $\{x\} \,$.

Propriétés générales

La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif strictement inférieur à $1$.

Tout réel $x$ vérifie les propriétés suivantes :

• $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$ ;
• $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si }x\in \Z \\ -1 & \text{sinon ;}\end{array}\right.$

et pour tout entier $n$ strictement positif :

• $0 \le \lfloor nx \rfloor - n\lfloor x \rfloor \le n-1 ;$
• $\left\lfloor\frac{1}{n}\lfloor nx \rfloor\right\rfloor=\lfloor x \rfloor.$
• On en déduit que si m et n sont des entiers naturels premiers entre eux alors

$\sum_{k = 1}^{n - 1} \left\lfloor \frac{k m}{n} \right\rfloor = \frac{(m - 1)(n - 1)}{2}.$

Fonction partie entière

La fonction partie entière n’est pas continue sur les valeurs entières, mais est semi-continue à droite et supérieurement.

Sa dérivée au sens des distributions est le peigne de Dirac de période 1.

Fonction partie fractionnaire

Elle est semi-continue à gauche et supérieurement. Elle est aussi périodique de période $1$ et admet une décomposition en série de Fourier sous la forme

$\{x\} = \frac{1}{2} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi n x)}{n \pi}.$

aux points x non entiers.

Fonction partie entière par excès

Aussi appelée « fonction plafond », elle peut se définir par l'expression :

$\lceil x\rceil = -\mathrm \lfloor -x \rfloor.$

Elle est semi-continue à gauche et inférieurement.

En outre, pour tout entier relatif $k$,

$k = \lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil .$