Nombre de Skewes

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En mathématiques, plus précisément en théorie des nombres, le nombre de Skewes peut faire référence à plusieurs nombres extrêmement grands utilisés par le mathématicien sud-africain Stanley Skewes.

Ces nombres sont des majorants du plus petit nombre naturel x pour lequel π(x) – li(x) > 0π(x) est la fonction de compte des nombres premiers et li(x), le logarithme intégral.

Historique[modifier | modifier le code]

John Edensor Littlewood, professeur de Skewes, avait démontré en 1914[1] qu'il existe de tels nombres (et donc, un plus petit parmi eux) et trouvé que la différence π(x) – li(x) change de signe une infinité de fois. Qu'un tel nombre existe n'était pas tout à fait clair à l'époque, car tous les résultats numériques disponibles semblaient suggérer que π(x) est toujours inférieur à li(x). La démonstration de Littlewood n'exhibait néanmoins pas un tel nombre x concret : elle n'était pas un résultat effectif. Elle était divisée en deux cas : l'un en supposant fausse l'hypothèse de Riemann et l'autre, plus difficile, en la supposant vraie[2]. (Elle reposait donc sur le principe du tiers exclu.)

Skewes démontra en 1933[3] qu'en supposant vraie l'hypothèse de Riemann, il existe un tel nombre x, inférieur à {\rm e}^{{\rm e}^{{\rm e}^{79}}}.

Ce majorant, quelquefois appelé premier nombre de Skewes aujourd'hui, est lui-même majoré par 10^{10^{10^{34}}}.

En 1955[4], sans l'hypothèse de Riemann, il est parvenu à démontrer qu'il existe un tel x inférieur à 10^{10^{10^{963}}}.

Ce nombre est quelquefois appelé deuxième nombre de Skewes.

Ces majorants (énormes) ont depuis été réduits considérablement : sans l'hypothèse de Riemann, Herman te Riele donna en 1987[5] le majorant

7 \times 10^{370}\

et une meilleure estimation, 1,39822×10316, fut découverte en 2000 par Carter Bays et Richard H. Hudson.

Intérêt de la démarche[modifier | modifier le code]

L'apport de Skewes fut de rendre effective la démonstration d'existence de Littlewood : en exhibant une certaine borne supérieure concrète pour le premier changement de signe. Selon Georg Kreisel, même le principe de cette méthode n'était pas considéré comme évident à cette époque.

Cette approche, appelée « débobinage » (unwinding) en théorie de la démonstration, consiste à étudier directement la structure d'une preuve pour produire une borne. L'autre manière, plus souvent pratiquée en théorie des nombres, consiste à modifier suffisamment la structure de la preuve pour rendre plus explicites les constantes absolues.

Bien que les deux nombres de Skewes soient grands comparés à la plupart des nombres rencontrés dans les démonstrations mathématiques, ni l'un ni l'autre n'est proche du nombre de Graham.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Skewes' number » (voir la liste des auteurs)

  1. J. E. Littlewood, « Sur la distribution des nombres premiers », C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 158,‎ 1914, p. 263-266.
  2. (en) Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, coll. « GTM » (no 74),‎ 2000, 3e éd. (ISBN 978-0-38795097-6), chap. 30, (« References to other work »), p. 172.
  3. (en) S. Skewes, « On the difference π(x) – li(x) », J. London Math. Soc., vol. 8,‎ 1933, p. 277-283.
  4. (en) S. Skewes, « On the difference π(x) – li(x) (II) », Proc. London Math. Soc., vol. 5,‎ 1955, p. 48-70.
  5. (en) H. J. J. te Riele, « On the Sign of the Difference π(x) – li(x) », Math. Comp., vol. 48,‎ 1987, p. 323-328 (DOI 10.2307/2007893).

Voir aussi[modifier | modifier le code]