1 (nombre)

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012
Cardinal Un, Une
Ordinal premier, première
prime (anc.)
1er, 1re
Préfixe grec mono
Préfixe latin uni
Adverbe premièrement
Adverbe d'origine
latine
primo
Multiplicatif d'origine
latine
semel
Propriétés
Facteurs premiers aucun
Diviseurs 1
Système de numération unaire
Autres numérations
Numération romaine I
Numération chinoise 一,弌,壹, 幺
Numération indo-arabe ١
Système binaire 1
Système octal 1
Système duodécimal 1
Système hexadécimal 1
Fichier audio
1 en Alphabet Morse (info)

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1 (un) est l'entier naturel représentant une entité seule. « Un » fait quelquefois référence à l'unité, et unitaire est quelquefois utilisé comme un adjectif dans ce sens. (Par exemple, un segment de longueur unitaire est un segment de longueur 1).

Évolution du glyphe[modifier | modifier le code]

Évolution du glyphe du chiffre 1

Le glyphe utilisé aujourd'hui dans le monde occidental pour représenter le chiffre et le nombre « 1 » est une ligne verticale, souvent avec un petit empattement au sommet et parfois une petite ligne horizontale à la base. Il trouve ses racines chez les brahmanes hindous. Ceux-ci écrivaient « 1 » sous forme d'une ligne horizontale (en Chine et au Japon aujourd'hui, c'est la manière dont il est écrit).

Les Gupta l'écrivaient comme une ligne incurvée, et les Nagari quelquefois ajoutaient un petit cercle sur la gauche (tourné d'un quart de tour vers la droite, ceci ressemble au 9 puis devint l'écriture actuelle dans les écrits du Goujerat et du Panjâb).

Les Népalais les tournaient aussi vers la droite, mais gardaient le petit cercle. Ceci devint finalement le serif du sommet dans l'écriture moderne, mais la petite ligne horizontale occasionnelle a probablement comme origine la ressemblance avec l'écriture romaine I.

Graphies actuelles[modifier | modifier le code]

La graphie « 1 » n'est pas la seule utilisée dans le monde ; un certain nombre d'alphabets — particulièrement ceux des langues du sous-continent indien et du sud-est asiatique — utilisent des graphies différentes.

Alphabet Chiffre Alphabet Chiffre Alphabet Chiffre Alphabet Chiffre
Amharique
Arabe
۱
Bengalî
Birman
Devanāgarī
Gujarati
Gurmukhî
Kannara
Khmer
Arabe
1
Malayalam
Oriya
Tamoul
Télougou
Thaï
Tibétain

Voici le « 1 » dans un affichage à 7 segments :

1

En mathématiques[modifier | modifier le code]

Le nombre « 1 » est défini comme le successeur du nombre 0. C'est le plus petit ordinal successeur.

Pour tout nombre x :

x \times 1 = 1 \times x = x\, (Ceci exprime le fait que 1 est l'élément neutre pour la multiplication). Comme conséquence de ceci, 1 est un nombre automorphe dans tout système de numération par base.
\frac{x}{1} = x\, (voir division)
x^1 = x\,
1^x = 1\,

et pour x\ne 0, x^0 = 1\, (voir exponentiation)

x \uparrow\uparrow 1 = x et 1 \uparrow\uparrow x = 1 (voir puissances itérées de Knuth).

En utilisant l'addition ordinaire, nous avons 1 + 1 = 2 ; dépendant de l'interprétation du symbole « + » et du système de numération utilisé, l'expression peut avoir beaucoup de sens différents.

« 1 » ne peut pas être utilisé comme base d'un système de numération positionnel de manière ordinaire. Quelquefois les marques de dénombrement sont assimilées à la « base 1 » ou système unaire, puisque seulement une marque (souvent un bâton) est nécessaire, mais cela ne marche pas de la même façon que le système de numération positionnelle. En liaison avec ceci il n'existe pas de logarithme en base 1, puisque la « fonction exponentielle » de base 1 est la fonction constante 1.

« 1 », dans la représentation de Von Neumann des nombres naturels, est défini comme l'ensemble {0}. Il a un seul élément, c'est un ordinal et un cardinal, son rang héréditaire est 1.

On appelle singleton un ensemble ayant un seul élément.

Dans un groupe multiplicatif ou monoïde, l'élément neutre est quelquefois noté « 1 », mais « e » (issu de l'allemand Einheit, unité) est plus traditionnel. Néanmoins, « 1 » est spécialement dédié pour l'identité multiplicative d'un anneau. (Cette identité multiplicative est souvent appelée « unité ».)

« 1 » est sa propre factorielle.

« 1 » est aussi le premier et le deuxième nombre dans les suites de Fibonacci, et le premier nombre de beaucoup de suites mathématiques. Comme sujet de convention, le premier Livre de suites entières de Sloane ajoutait un 1 initial à chaque suite qui n'en avait pas déjà un, et considérait ces « 1 » initiaux dans leur ordre lexicographique. Plus tard, Sloane dans son Encyclopédie des suites entières et sa contrepartie Web, l'Encyclopédie électronique des suites entières, ignora ces « 1 » initiaux dans l'ordre lexicographique des suites, car de tels « 1 » initiaux correspondent aux cas triviaux.

« 1 » est le produit vide, lorsqu'il est l'élément neutre de la multiplication utilisée. En particulier et par convention pour assurer la continuité des fonctions exponentielles pour la valeur zéro, tout nombre (sauf zéro[Note 1]) élevé à la puissance zéro donne le résultat 1.

« 1 » est une des trois valeurs possibles retournées par la fonction de Möbius. En entrant un entier qui est sans carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts, la fonction de Möbius retourne un.

« 1 » est le seul nombre impair qui soit dans l'image de la fonction indicatrice d'Euler (\varphi(x)=1\, pour x = 1 et x = 2 seulement).

« 1 » est, par définition, la norme d'un vecteur unité et de la matrice unité.

« 1 », divisé par 9 801, donne successivement dans ses décimales l'ensemble des nombres de « 01 » à « 99 » — soit les 100 premiers entiers naturels — hormis le 98. Autrement dit, le ratio « 1/9801 » a pour premières décimales de sa valeur approchée : 0,000102030405060708091011121314151617181920212223242526272829... .

« 1 » n'est pas un nombre premier[modifier | modifier le code]

« 1 » n'est pas actuellement considéré comme un nombre premier, bien qu'il soit parfois utilisé en tant que tel, à cause de l'erreur courante concernant la définition de la primalité : ce n'est pas « lorsque le nombre est divisible seulement par un et lui-même » mais bien « lorsque le nombre a deux diviseurs distincts, un et lui-même », ce qui permet d'exclure le nombre un, qui n'a qu'un diviseur.

D'ailleurs, pour les usages de la factorisation et précisément pour le théorème fondamental de l'arithmétique, il est nécessaire et/ou suffisant de ne pas voir « 1 » comme un facteur premier, ou de le voir comme un facteur implicite qui existe toujours mais qui est non-écrit.

Le dernier mathématicien professionnel à publier « 1 » en tant que nombre premier fut Henri Lebesgue en 1899.

Quelques propriétés arithmétiques de « 1 »[modifier | modifier le code]

Dans la société humaine[modifier | modifier le code]

Beaucoup de cultures humaines ont donné au concept d'unicité des sens symboliques. Beaucoup de religions considèrent Dieu comme l'exemple parfait d'unicité. Voir l'article « monade » pour une discussion détaillée à propos d'autres types d'unicités.

Quelque chose est « unique » si c'est le seul exemplaire de son espèce. De manière plus dégradée et plus exagérée (spécialement en publicité), le terme est utilisé pour quelque chose de très spécial.

Dans la langue française, un est l'article indéfini masculin singulier ; le féminin est une.

Un est aussi l'expression de la troisième personne du singulier pour la distinguer d'un groupe (« L'un de vous prendra-t-il un café ?) ».

En sciences[modifier | modifier le code]

Le nombre « 1 » est :

Dans d'autres domaines[modifier | modifier le code]

Le nombre « 1 », sous diverses graphies (« un », « I », « 01 », etc.), peut référer à :

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. 0 0 est une expression indéterminée.

Références[modifier | modifier le code]

Néant

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]