Loi géométrique

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Loi géométrique
Image illustrative de l’article Loi géométrique
Fonction de masse
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Fonction de répartition

Paramètres probabilité de succès (réel), probabilité d'échec
Support
Fonction de masse
Fonction de répartition
Espérance
Médiane (pas unique si est entier)
Mode 1
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités et en statistique, la loi géométrique est une loi de probabilité discrète ayant deux définitions possibles :

  • la loi du nombre X d'épreuves de Bernoulli indépendante de probabilité de succès p ∈ ]0,1[ (ou q = 1 – p d'échec) nécessaire pour obtenir le premier succès. X est la variable aléatoire donnant le rang du premier succès. Le support de la loi est alors {1, 2, 3, ...}.
  • La loi du nombre Y = X – 1 d'échecs avant le premier succès. Le support de la loi est alors {0, 1, 2, 3, ...}.

Les valeurs de X sont les entiers naturels non nuls 1, 2, 3, ... La probabilité que X = k est alors, pour k = 1, 2, 3, ... :

On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p.

Calcul de p(k)[modifier | modifier le code]

La probabilité p(k) correspond à la probabilité d'obtenir dans une succession de k épreuves de Bernoulli, k – 1 échecs suivis d'un succès. Les épreuves étant indépendantes, cette probabilité est de qk – 1p.

Autre définition[modifier | modifier le code]

Pour la loi géométrique, on rencontre parfois cette définition : la probabilité p'(k) est la probabilité, lors d'une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, d'obtenir k échecs suivi d'un succès. Elle modélise la durée de vie d'une entité qui aurait, à tout instant la probabilité p de mourir. On obtient alors, pour k = 0, 1, 2, ... :

On remarque qu'il ne s'agit que d'un décalage de la précédente loi géométrique, au sens suivant : si X suit la loi p alors X – 1 suit la loi p'. Son espérance n'est plus alors de 1/p mais de 1/p – 1, c'est-à-dire q/p. La variance est identique pour les deux définitions. Dans la suite, on prendra la première définition.

Date de mort, durée de vie[modifier | modifier le code]

Si on appelle p la probabilité de désintégration d'une particule radioactive, la loi géométrique est le premier modèle discret de la mort d'une particule radioactive. La durée de vie de la particule radioactive V, suit la loi de probabilité suivante :

Pour p petit, ln(1 – p) est voisin de p donc

où l'on retrouve la distribution de la loi exponentielle.

Espérance, variance, écart type[modifier | modifier le code]

L'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi géométrique de paramètre p est 1p, et sa variance est q/p2q = 1 – p est la probabilité d'échec :

L'écart type est donc q/p.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Lien avec la loi géométrique tronquée[modifier | modifier le code]

Dans les programmes 2011 de Première Scientifique en France[1], on appelle loi géométrique tronquée de paramètres n et p, la loi de la variable aléatoire obtenue en limitant à n le nombre d'épreuves de Bernoulli de paramètre p et en notant le rang du premier succès. Par convention, s'il n'advient aucun succès au cours des n essais, on pose X = 0 (on trouve parfois pour X le nombre d'échecs obtenus au cours des n épreuves[2]). La probabilité que X = k est alors, pour k = 1, 2, 3, ..., n :

et pour k = 0

Cette loi de probabilité a pour espérance[1]: q = 1 - p.

Le terme « tronquée », ici, n'a pas même sens que celui que l'on trouve dans la définition d'une loi tronquée.

Lien avec la loi exponentielle[modifier | modifier le code]

La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées.

Propriété — Si X suit la loi exponentielle d'espérance 1, et si alors Y suit la loi géométrique de paramètre

Diagramme en bâtons de la loi de V et densité de la loi exponentielle de paramètre 1/10.

Notons que, pour un nombre réel x, désigne la partie entière supérieure de x, définie par

Conséquence :

Ainsi, pour obtenir une variable aléatoire Y' suivant une loi géométrique de paramètre p arbitraire (avec toutefois la contrainte 0 < p < 1), à partir d'une variable aléatoire exponentielle X' de paramètre λ, il suffit de poser

où l'on a choisi

En effet, suit une loi exponentielle de paramètre 1 (et d'espérance 1).

Réciproquement,

Propriété — Si, pour la variable aléatoire Yn suit la loi géométrique de paramètre pn, et si, simultanément,

alors anYn converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre λ.

Lien avec la loi binomiale négative[modifier | modifier le code]

Si Xn est une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale négative de paramètres n et p, alors Xn a même loi que la somme de n variables aléatoires indépendantes distribuées selon une loi géométrique de paramètre p.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Document ressource éduscol - Statistique et probabilité - Juin 2011, pp. 13-24
  2. Cours de probabilité 2011/2012 de l'U.J.F. de Grenoble, p. 7