Loi de Fréchet

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Loi de Fréchet
Image illustrative de l'article Loi de Fréchet
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

Image illustrative de l'article Loi de Fréchet
Fonction de répartition

Paramètres paramètre de forme.
(deux paramètres optionnels)
paramètre d'échelle (par défaut : )
paramètre de position du minimum (par défaut : )
Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode
Variance
Asymétrie voir l'article
Kurtosis normalisé voir l'article
Entropie , où est la constante d'Euler-Mascheroni.
Fonction génératrice des moments le k-ième moment existe[1] si
Fonction caractéristique voir Muraleedharan, Soares & Lucas (2011)[1]

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Fréchet est un cas spécial de loi d'extremum généralisée au même titre que la loi de Gumbel ou la loi de Weibull.

Le nom de cette loi est issu de Maurice Fréchet qui écrivit un article en 1927, d'autres travaux ont été réalisés par Ronald Aylmer Fisher et L. H. C. Tippett en 1928 et par Emil Julius Gumbel en 1958.

Définition[modifier | modifier le code]

Sa fonction de répartition est donnée par :

est un paramètre de forme. Cette loi peut être généralisée en introduisant un paramètre de position m du minimum et un paramètre d'échelle s>0. La fonction de répartition est alors :

Propriétés[modifier | modifier le code]

Moments[modifier | modifier le code]

La loi de Fréchet à un paramètre a des moments standards :

,

(avec ) définis pour  :

est la fonction Gamma.

En particulier :

  • Pour l'espérance est
  • Pour la variance est .

Quantiles[modifier | modifier le code]

Le quantile d'ordre peut être exprimé grâce à l'inverse de la fonction de répartition :

.

En particulier la médiane est :

.

Le mode de la loi de Fréchet est .

Pour la loi de Fréchet à trois paramètres, le premier quartile est et le troisième quartile est .

Asymétrie et kurtosis[modifier | modifier le code]

L'asymétrie de la loi de Fréchet est :

le kurtosis est :

Applications[modifier | modifier le code]

Loi de Fréchet utilisée pour modéliser des précipitations extrêmes.

En hydrologie, la loi de Fréchet s'utilise pour des évènements extrêmes tels que le maximum annuel des précipitations journalières ou le débit des rivières[2]. La figure bleue illustre un exemple applicable de loi de Fréchet du maximum annuel des précipitations journalières en Oman, montrant également la bande de confiance de 90 % basée sur la loi binomiale.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

  • Si (loi uniforme continue) alors
  • Si alors
  • Si et alors
  • Si (loi de Weibull) alors

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fréchet distribution » (voir la liste des auteurs).

  1. a et b (en) G. Muraleedharan, C. Guedes Soares et Cláudia Lucas, « Characteristic and Moment Generating Functions of Generalised Extreme Value Distribution (GEV) », dans Linda L. Wright, Sea Level Rise, Coastal Engineering, Shorelines and Tides, Nova Science Publishers, (ISBN 978-1-61728-655-1), chap. 14, p. 269-276/
  2. (en) Stuart Coles, An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Londres, Springer-Verlag, , 2e éd. (ISBN 978-1-85233-459-8, lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • M. Fréchet, « Sur la loi de probabilité de l'écart maximum », Ann. Soc. Polon. Math., vol. 6, no 3, 1927
  • (en) R. A. Fisher et L. H. C. Tippett, « Limiting forms of the frequency distribution of the largest and smallest member of a sample », Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 24, 1928, p. 180-190
  • (en) E. J. Gumbel, Statistics of Extremes, Columbia University Press, New York, 1958
  • (en) S. Kotz et S. Nadarajah, Extreme Value Distributions: Theory and Applications, World Scientific, 2000 (ISBN 1860942245)

Liens externes[modifier | modifier le code]