Partie entière et partie fractionnaire

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Représentation graphique en escalier de la fonction « partie entière ».

En mathématiques et en informatique, la partie entière par défaut, ou partie entière inférieure, en général abrégée en partie entière tout court, d'un nombre réel est l'unique entier relatif (positif, négatif ou nul) tel que

.

On démontre son existence et son unicité par analyse-synthèse : est le plus grand entier inférieur ou égal à (ce que l'on peut prendre comme définition équivalente de la partie entière de , voir ci-dessous), son existence étant garantie par la propriété d'Archimède[1].

Dans le cas où est un rationnel , la partie entière de n'est autre que le quotient euclidien de par .

La différence entre un nombre et sa partie entière est appelée sa partie fractionnaire ou partie décimale.

Notations[modifier | modifier le code]

La partie entière (par défaut) de est notée conventionnellement . La fonction partie entière est souvent notée ou .

On utilise aussi la notation mais celle-ci a tendance à être remplacée par la notation car elle peut être confondue avec des parenthèses. De plus, il y a symétrie entre la partie entière inférieure (appelée en anglais floor, « plancher ») définie par l’encadrement :

Représentation graphique de la fonction « troncature ».

et la partie entière supérieure (appelée en anglais ceiling, « plafond ») définie par :

La partie entière ne doit pas être confondue avec la troncature à l'unité, ou troncature entière, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les nombres négatifs.

Par exemple, la partie entière de –1,5 vaut –2, tandis que sa troncature à l'unité vaut –1.

Partie fractionnaire[modifier | modifier le code]

Représentation graphique en "dents de scie" de la fonction « partie fractionnaire ».

La partie fractionnaire d'un nombre réel notée , est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut[2] :

.

La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.

On trouve également le terme de partie décimale du nombre, notamment pour les nombres décimaux[3].

On notera que certains considèrent le terme « partie fractionnaire » impropre pour les nombres irrationnels, car cette partie n'est alors pas rationnelle, donc n'est pas une fraction[4]. Mais « partie décimale » n'est pas plus correct dans le cas des nombres qui ne sont pas eux-mêmes décimaux, car cette partie n'est alors pas décimale non plus.

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Tout réel vérifie les propriétés suivantes, où est l'ensemble des entiers relatifs :

  •  ; avec  ;
  • pour tout , on a  ;
formule pouvant être généralisée pour tous entiers a et b strictement positifs[7],[8] :
Cette dernière peut être inversée de sorte à donner une formule explicite pour le PGCD [6]:
  • avec y réel[9].

Pour tout entier strictement positif :

  • (car ) ;
  • (car ) , d'où .

Fonction partie entière[modifier | modifier le code]

La fonction partie entière n'est pas continue en une valeur entière, mais est continue à droite et semi-continue supérieurement.

Sa dérivée au sens des distributions est le peigne de Dirac de période 1.

Fonction partie fractionnaire[modifier | modifier le code]

Parfois notée , elle est continue à gauche et semi-continue supérieurement. Elle est aussi périodique de période 1 (d'après la remarque immédiate[1] : pour tout entier , ) .

Pour non entier, admet la décomposition en série de Fourier :

Représentation de la fonction
.

Pour obtenir une décomposition en série de Fourier valable pour tout réel, on pose :

Animation de la décomposition en série de Fourier de cette fonction avec un nombre croissant d'harmoniques.

À proximité de l'image de chaque nombre entier, on observe un phénomène de Gibbs sur la décomposition en série de Fourier de cette fonction, qui persiste malgré l'augmentation du nombre de coefficients calculés (voir l'animation ci-contre).

La fonction intervient aussi dans l'expression des sommes de Dedekind, ainsi que dans la formule d'Euler Mac-Laurin.

Partie entière par excès[modifier | modifier le code]

Représentation graphique de la fonction « partie entière supérieure ».

Aussi appelée partie entière supérieure, elle peut se définir par l'expression :

.

La fonction , parfois notée , est continue à gauche et semi-continue inférieurement.

En outre, pour tout  :

 ;
[10].

Exemples[modifier | modifier le code]

x Partie entière par excès Partie fractionnaire {x}
12/5 = 2,4 2 3 2/5 = 0,4
2,9 2 3 0,9
−2,7 −3 −2 0,3
−2 −2 −2 0

Définitions équivalentes[modifier | modifier le code]

Dans les formules suivantes, x et y sont des nombres réels, m, n et k sont des entiers relatifs.

Les parties entières par défaut et par excès peuvent aussi être définies par les expressions suivantes :

 ; .

Puisqu'il existe un seul entier dans un intervalle semi-ouvert de largeur 1, pour tout réel x il existe exactement deux entiers m et n tels que :

.

On peut alors aussi définir les parties entières par défaut et par excès par et .

D'autres formules équivalentes peuvent être utilisées pour simplifier des expressions avec des parties entières[11]:

Arrondi entier et arrondi à une précision donnée[modifier | modifier le code]

Définition et notations[modifier | modifier le code]

L'arrondi entier d'un nombre réel , noté ou , est l'entier le plus proche de  ; s'il y en a deux, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue de façon à ce que la fonction soit une fonction impaire.

On a :

ce qui peut se résumer en une seule formule valable pour tout nombre réel  :

.

Comme l'arrondi d'un réel est égal à sa partie entière inférieure ou supérieure, il est aussi parfois noté .

En résumé, les parties supérieures, inférieures, et l'arrondi entier sont caractérisés par les inégalités (la troisième uniquement pour positif) :

Arrondi à une précision donnée[modifier | modifier le code]

Étant donné un réel strictement positif , l'arrondi à la précision d'un réel est le nombre multiple de le plus proche de  :

Étant donné un entier , l'arrondi décimal de à l'ordre , est l'arrondi de à la précision  :

.

Par exemple, les arrondis d'ordres 0,1,2,3,4 du nombre sont successivement :

Lorsqu'on écrit , cela signifie que l'arrondi à l'ordre 3 de est égal à , autrement dit que .

Parties entière et fractionnaire d'une fraction rationnelle[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Par analogie avec le fait que la partie entière d'un rationnel est le quotient euclidien de par , on définit la partie entière d'une fraction rationnelle comme le quotient euclidien de par , après avoir montré que ce quotient ne dépend pas du représentant de la fraction. La partie entière de est donc l'unique polynôme tel que avec polynôme de degré strictement inférieur à celui de . Notation : . Notons que cette partie entière n'est pas un entier, mais un polynôme.

La partie fractionnaire est .

Ces définitions se transmettent aux fonctions rationnelles.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  P1 : si est de degré < 0, , et sinon (et donc ).

 P2 : un polynôme est la partie entière d'une fraction rationnelle si et seulement si est de degré strictement négatif.

 P3 : la partie entière d'une somme est la somme des parties entières :

 Ceci différencie donc la notion de partie entière dans les entiers et dans les rationnels ; cette propriété est très utile pour la recherche de décomposition en éléments simples.

Application[modifier | modifier le code]

La partie entière d'un fonction rationnelle de degré > 0 est une fonction polynomiale asymptote à au voisinage de +∞ et -∞.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Floor and ceiling functions » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b D. Guinin et B. Joppin, Analyse MPSI, Bréal, (lire en ligne), p. 113.
  2. Voir par exemple, sa définition dans ce manuel technique pour ingénieur
  3. Michel Mante et Roland Charney, Concours professeur des écoles 20115 : Mathématiques, t. 1, (lire en ligne), p. 50
  4. « Partie décimale d'un nombre réel », sur Scolab
  5. J. E. Blazek, Combinatoire de N-modules de Catalan, mémoire de maîtrise, 2015, p. 17.
  6. a et b (en) Marcelo Polezzi, « A geometrical Method for Finding an Explicit Formula for the Greatest Comon Divisor », The American Mathematical Monthly,‎ , p. 445-446 (lire en ligne)
  7. Graham, Knuth, Patashnik, Mathématiques concrètes, Thomson publishing, , p. 101
  8. Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers, Belin, , p. 153
  9. Cette propriété intervient dans la démonstration arithmétique du fait que le produit de n entiers consécutifs est divisible par n! ; voir à formule de Legendre.
  10. (en) Ronald L. Graham, Donald E. Knuth et Oren Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, (ISBN 0-201-55802-5), chap. 3, exercice 12.
  11. Graham, Knuth et Patashnik 1994, chap. 3.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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