Événement (probabilités)

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Jeu de dés : une expérience aléatoire.

En théorie des probabilités, un événement lié à une expérience aléatoire est un ensemble dont les éléments sont des résultats possibles pour cette expérience (c'est-à-dire un certain sous-ensemble de l'univers lié à l'expérience). Un événement étant souvent défini par une proposition, nous devons pouvoir dire, connaissant le résultat de l'expérience aléatoire, si l'événement a été réalisé ou non au cours de cette expérience.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient l'univers d'une expérience aléatoire, une tribu sur , et l'espace probabilisable ainsi constitué. On appelle événement toute partie de qui appartient à la tribu .

Si l'événement est constitué d'un seul élément, on parle alors d'un événement élémentaire.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

L'univers est un événement, regroupant toutes les issues possibles, appelé événement certain.

L'ensemble vide est un événement, appelé événement impossible.

Pour tout appartenant à , représentant une issue possible, le singleton est un événement, appelé événement élémentaire.

Exemples[modifier | modifier le code]

Supposons que l’expérience aléatoire considérée soit le tirage à pile ou face d’une piece de monnaie. L’univers de l’expérience comporte alors deux issues possibles, pile et face, et on peut définir pour cette expérience une tribu de quatre événements :

  1. l’événement élémentaire {pile} ;
  2. l’événement élémentaire {face} ;
  3. l’événement certain = {pile, face}, c’est-à-dire tirer soit pile soit face ;
  4. l’événement impossible , c’est-à-dire ne tirer ni pile ni face.

Supposons qu'on dispose de 52 cartes et de deux jokers sur une table et qu'on tire une seule carte. Le tirage d'une carte particulière dans l'univers des 54 cartes, représente alors un événement élémentaire. Les sous-ensembles (y compris les événements élémentaires) sont simplement appelés des « événements ». Des événements de cet univers peuvent être :

  • « obtenir un roi » ensemble constitué des 4 rois (ensemble de quatre événements élémentaires),
  • « obtenir une carte de cœur » (ensemble de 13 cartes)
  • « obtenir une figure » (ensemble de 12 cartes).

Supposons qu’un assureur automobile considère un échantillon d'automobiliste présentant certains risques. Les événements qui seront considérés pourront être de dépasser ou non un montant total de sinistres supérieur à la franchise. La notion d'événement en probabilités n'est donc pas identique à la notion d'issue. La définition des évènements pourra dépendre par exemple de la conception que l'on a du risque (ou vice versa de la chance).

Opérations ensemblistes sur les événements[modifier | modifier le code]

Les événements étant des ensembles d'issues, on peut leur appliquer toutes les opérations ensemblistes usuelles.

Soient deux événements.

  • On appelle complémentaire de , noté ou , l'ensemble des éventualités qui n'appartiennent pas à .
    • est réalisé si et seulement si n'est pas réalisé.
    • Formellement, on a : .
  • On appelle union, ou réunion, des événements, notée (lire « A union B »), la réunion de leurs éventualités.
    • est réalisé si l'un des deux événements est réalisé (ou les deux).
    • Formellement, on a : .
  • On appelle intersection, ou conjonction, des événements, notée (lire « A inter B  »), l'ensemble des éventualités qui leur sont communes.
    • est réalisé si les deux événements sont simultanément réalisés.
    • Formellement, on a : .
  • On appelle différence ensembliste des événements, notée (lire « A moins B  »), l'ensemble des éventualités qui appartiennent à mais pas à .
    • est réalisé si est réalisé alors que ne l’est pas.
    • Formellement, on a :.

Relations ensemblistes entre événements[modifier | modifier le code]

Soient deux événements. Alors:

  • Les événements sont dits disjoints s'ils n'ont aucune éventualité commune, c'est-à-dire si .
  • On dit que est inclus dans , et on note , si toutes les éventualités de appartiennent à . La réalisation de l'événement implique alors automatiquement celle de l'événement .

Expressions ensemblistes d'événements aléatoires[modifier | modifier le code]

Soient A, B, C trois événements.

Crescendo, six cas probables s'offrent à l'expérience :

  • Aucun événement ne se produit :
  • Exactement un événement se produit :
  • Au moins un événement se produit :
  • Deux événements au plus se produisent :
  • Au moins deux événements se produisent :
  • Les trois événements se produisent :


(Les formules peuvent être généralisées à un ensemble N d'événements.)