Loi de Cantor

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

Cantor
image illustrative de l’article Loi de Cantor
Fonction de répartition

Paramètres aucun
Support ensemble de Cantor
Densité de probabilité aucune
Fonction de répartition escalier de Cantor
Espérance 1/2
Médiane tout point de
Variance 1/8
Asymétrie 0
Kurtosis normalisé -8/5
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités, la loi de Cantor est une loi de probabilité singulière dont le support est l'ensemble de Cantor et la fonction de répartition est l'escalier de Cantor. Comme ces derniers, le nom de la loi est issue du mathématicien allemand Georg Cantor.

Cette loi de probabilité est singulière, ainsi elle n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et donc ne possède pas de densité de probabilité ; elle ne possède pas non plus de fonction de masse. Elle est donc ni une loi de probabilité discrète, ni une loi de probabilité à densité, ni un mélange de ces dernières.

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Le support de la loi de Cantor est l'ensemble de Cantor qui est l'intersection de la suite infinie d'ensembles :

La loi de Cantor est l'unique loi de probabilité pour laquelle, sur toute union d'ensembles , pour , la loi est uniforme sur chacun des ensembles de  :

, si .

Cette loi de Cantor est parfois précisée : « loi de Cantor sur [0, 1] ». Elle peut être définie de la même manière sur l'intervalle [–1,1], ce qui en fait une loi centrée.

Moments[modifier | modifier le code]

Il est aisé de remarquer, par symétrie, que l'espérance d'une variable aléatoire X de loi de Cantor est : . Les moments centrés d'ordre impair sont tous nuls.

Donnons un calcul pour la variance. Pour l'ensemble ci-dessus, soit si et si . Ceci s'écrit à l'aide d'une indicatrice : . Alors :

De ceci, on obtient :

Des formules pour tout moment d'ordre pair peuvent être obtenues en obtenant tout d'abord les cumulants[1] :

est le 2n-ième nombre de Bernoulli.

Construction[modifier | modifier le code]

La loi de Cantor est la loi du nombre aléatoire Z, compris entre 0 et 1, obtenu en tirant au hasard les chiffres de son développement triadique de la manière suivante : les chiffres sont indépendants et valent 0 ou 2 avec probabilité 0,5.

Nota : si ces chiffres étaient indépendants et uniformément distribués sur l'ensemble {0,1,2}, Z suivrait la loi uniforme entre 0 et 1.

Plus précisément, soit , l'intervalle étant muni de la mesure de Lebesgue, ce qui en fait l'espace de probabilité canonique. Pour , posons :

de sorte que:

On sait que, d'une part, la suite est la suite des chiffres du développement dyadique propre de , et que, d'autre part, est une suite de variables de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,5. Posons :

Alors

Proposition —  suit la loi de Cantor.

En effet,

est une suite de 0s et de 1s bien choisie, de sorte que :

De cette construction concrète, on peut déduire toute les grandes propriétés de l'escalier de Cantor, via des arguments probabilistes : en particulier, la loi forte des grands nombres entraîne que la loi de Cantor et la mesure de Lebesgue sont étrangères, bien que la loi de Cantor soit, par ailleurs, diffuse. Ces propriétés de la loi de Cantor se traduisent par la continuité de l'escalier de Cantor (la loi de Cantor est diffuse) et la nullité (presque partout) de la dérivée de l'escalier de Cantor (car la loi de Cantor est étrangère à la mesure de Lebesgue).

Proposition — La loi de Cantor et la mesure de Lebesgue sont étrangères, et la loi de Cantor est diffuse.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Kent Morrison, « Random Walks with Decreasing Steps », sur Cal Poly, .