Loi de Cantor

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Cantor
Image illustrative de l'article Loi de Cantor
Fonction de répartition

Paramètres aucun
Support ensemble de Cantor
Densité de probabilité aucune
Fonction de répartition escalier de Cantor
Espérance 1/2
Médiane tout point de
Variance 1/8
Asymétrie 0
Kurtosis normalisé -8/5
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités, la loi de Cantor est une loi de probabilité singulière dont le support est l'ensemble de Cantor et la fonction de répartition est l'escalier de Cantor. Comme ces derniers, le nom de la loi est issue du mathématicien allemand Georg Cantor.

Cette loi de probabilité est singulière, ainsi elle n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et donc ne possède pas de densité de probabilité ; elle ne possède pas non plus de fonction de masse. Elle est donc ni une loi de probabilité discrète, ni une loi de probabilité à densité, ni un mélange de ces dernières.

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Le support de la loi de Cantor est l'ensemble de Cantor qui est l'intersection de la suite infinie d'ensembles :

La loi de Cantor est l'unique loi de probabilité pour laquelle, sur toute union d'ensembles , pour , la loi est uniforme sur chacun des ensembles de  :

, si .

Cette loi de Cantor est parfois précisée : « loi de Cantor sur [0, 1] ». Elle peut être définie de la même manière sur l'intervalle [–1,1], ce qui en fait une loi centrée.

Moments[modifier | modifier le code]

Il est aisé de remarquer, par symétrie, que l'espérance d'une variable aléatoire X de loi de Cantor est : . Les moments d'ordre impair sont tous nuls.

Donnons un calcul pour la variance. Pour l'ensemble ci-dessus, soit si et si . Ceci s'écrit à l'aide d'une indicatrice : . Alors :

De ceci, on obtient :

Des formules pour tout moment d'ordre pair peut être obtenu en obtenant tout d'abord les cumulants[1] :

est le 2n-ième nombre de Bernoulli.

Construction[modifier | modifier le code]

La loi de Cantor est la loi du nombre aléatoire Z, compris entre 0 et 1, obtenu en tirant au hasard les chiffres de son développement triadique de la manière suivante : les chiffres sont indépendants et valent 0 ou 2 avec probabilité 0,5. Nota : si ces chiffres étaient indépendants et uniformément distribués sur l'ensemble {0,1,2}, Z suivrait la loi uniforme entre 0 et 1. Plus précisément, soit , l'intervalle étant muni de la mesure de Lebesgue, ce qui en fait l'espace de probabilité canonique. Pour , posons :

de sorte que:

On sait que, d'une part, la suite est la suite des chiffres du développement dyadique propre de , et que, d'autre part, est une suite de variables de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,5. Posons :

Alors suit la loi de Cantor.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Kent Morrison, « Random Walks with Decreasing Steps », sur Cal Poly, .