Loi de Wishart inverse

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Loi de Wishart inverse
Paramètres Degré de liberté
paramètre d'échelle inverse ( matrice définie positive)
Support l'ensemble des matrices définies positives
Densité de probabilité (fonction de masse)

est la fonction gamma multidimensionnelle et est la fonction trace

Espérance
Mode [1]
Variance voir l'article

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Wishart inverse, également appelée loi de Wishart inversée, est une loi de probabilité définie sur l'ensemble des matrices définies positives à coefficients réels.

Une variable qui suit une loi de Wishart inverse sera notée et est définie par la loi de sa matrice inverse : suit une loi de Wishart .

Densité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi de Wishart inverse est :

et sont des matrices définies positives et est la fonction gamma multidimensionnelle.

Théorèmes[modifier | modifier le code]

Loi de l'inverse d'une matrice de loi de Wishart[modifier | modifier le code]

Si et est une matrice , alors est de loi de Wishart inverse : [2].

Lois marginales et conditionnelles[modifier | modifier le code]

Supposons que est de loi de Wishart inverse. Séparons convenablement en deux matrices et  :

et sont des matrices , alors on obtient

i) est indépendant de et de , où est le complément de Schur de dans ;

ii) ;

iii) , où est la loi normale matricielle;

iv)

Moments[modifier | modifier le code]

Cette section est basée sur l'article [Press, 1982][3], après avoir reparamétré le degré de liberté pour être consistent avec la définition de la densité donnée ci-dessus.

La moyenne est[2] :

La variance de chaque élément de est :

a variance de la diagonale utile la même formule que ci-dessus avec , ce qui se simplifie en :

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Une version unidimensionnelle de la loi de Wishart inverse est la loi inverse-gamma. Avec , c'est-à-dire unidimensionnel, , et , la densité de probabilité de la loi de Wishart inverse devient

c'est-à-dire, la loi inverse-gamma où est la fonction gamma classique.

La loi de Wishart inverse est un cas particulier de la loi gamma inverse multidimensionnelle.

Références[modifier | modifier le code]

  1. A. O'Hagan, and J. J. Forster, Kendall's Advanced Theory of Statistics: Bayesian Inference, vol. 2B, Arnold, (ISBN 0-340-80752-0)
  2. a et b Kanti V. Mardia, J. T. Kent and J. M. Bibby, Multivariate Analysis, Academic Press, (ISBN 0-12-471250-9)
  3. Press, S. J. (1982) "Applied Multivariate Analysis", 2nd ed. (Dover Publications, New York)