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Article labellisé du jour

Répartition des réels en irrationnels, rationnels, algébriques et transcendants.

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction , où et sont deux entiers relatifs (avec non nul).

On distingue, parmi les nombres irrationnels, deux sous-ensembles complémentaires : les nombres algébriques non rationnels et les nombres transcendants. Les nombres algébriques peuvent s'exprimer comme racine d'un polynôme à coefficients rationnels ; cet ensemble dénombrable inclut tous les nombres rationnels, mais aussi des irrationnels. Un sous-ensemble intermédiaire est celui des nombres constructibles, d'une grande importance historique car liés aux problèmes de construction à la règle et au compas, essentiels à la géométrie de l'époque d'Euclide. Les nombres non algébriques, comme π et e, sont dits transcendants ; ils sont tous irrationnels. Cependant, certains ensembles de nombres irrationnels peuvent aussi regrouper à la fois des nombres algébriques et des nombres transcendants ; c'est par exemple le cas des nombres calculables. On conjecture également qu'il existe des nombres normaux algébriques, et on en connait qui sont transcendants.

Les premiers nombres irrationnels découverts sont les racines carrées des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, entre autres 2, dont l'irrationalité a été établie dans l'Antiquité. Celles de π et de e ont été établies bien plus tard, au XVIIIe siècle ; ce sont les premiers nombres transcendants dont on a prouvé l'irrationalité. Il a de plus été montré au XIXe siècle que presque tous les nombres réels sont irrationnels, et même transcendants. En 2017, on ignore le statut de plusieurs constantes importantes telle que la constante d'Euler-Mascheroni.

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La façade ouest du château d'Augustusburg (Rhénanie-du-Nord-Westphalie).  (définition réelle 5 298 × 2 424)
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