Loi log-logistique

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Log-logistique
Image illustrative de l'article Loi log-logistique
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
Pour \alpha=1 et \beta en légende

Image illustrative de l'article Loi log-logistique
Fonction de répartition
\alpha=1 et \beta en légende

Paramètres \alpha>0 échelle
\beta> 0 forme
Support x\in[0,\infty)
Densité de probabilité (fonction de masse)  \frac{ (\beta/\alpha)(x/\alpha)^{\beta-1} }
                       { \left[ 1+(x/\alpha)^{\beta} \right]^2 }
Fonction de répartition { 1 \over 1+(x/\alpha)^{-\beta} }
Espérance {\alpha\,\pi/\beta \over \sin(\pi/\beta)}
si \beta>1, sinon pas définie
Médiane \alpha\,
Mode \alpha\left(\frac{\beta-1}{\beta+1}\right)^{1/\beta}
si \beta> 1, 0 sinon
Variance voir développement

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi log-logistique (connue aussi comme la distribution de Fisk en économie) est une loi de probabilité continue pour une variable aléatoire non-négative. Elle est utilisée dans l'étude de la durée de vie d'événement dont l'intensité augmente d'abord pour ensuite décroître, comme pour la mortalité dû au cancer après diagnostic ou traitement. Elle est aussi utilisée en hydrologie pour modéliser le débit d'un cours d'eau ou le niveau des précipitations, et en économie pour modéliser l'inégalité des revenus.

La loi log-logistique est la loi d'une variable aléatoire dont le logarithme est distribué selon une Loi logistique. Elle ressemble beaucoup à la loi log-normale, mais s'en distingue par des queues plus épaisses. Par ailleurs, sa fonction de répartition admet une expression explicite, contrairement à la log-normale.

Caractéristiques[modifier | modifier le code]

Il existe différentes paramétrisations de la distribution. Celle choisie ici permet une interprétation raisonnable des paramètres et permet une expression simplifiée pour la fonction de répartition[1],[2]. Le paramètre α>0 est un paramètre d'échelle et joue aussi le rôle de médiane de la distribution. Le paramètre β>0 est un paramètre de forme. La distribution est unimodale lorsque \beta>1 et sa dispersion décroît lorsque \beta augmente.

La fonction de répartition est

\begin{align}
F(x; \alpha, \beta) & = {       1         \over 1+(x/\alpha)^{-\beta} } \\
                    & = {(x/\alpha)^\beta \over 1+(x/\alpha)^   \beta  } \\
                    & = {x^\beta \over \alpha^\beta+x^\beta}
\end{align}

x>0, \alpha>0, \beta>0.

La densité de probabilité est

f(x; \alpha, \beta) = \frac{ (\beta/\alpha)(x/\alpha)^{-\beta-1} }
                      { \left[ 1+(x/\alpha)^{-\beta} \right]^2 }.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Moments[modifier | modifier le code]

Le k-ième moment existe seulement quand k<\beta, et se donne alors par[3],[4]

\begin{align}
\operatorname{E}(X^k)
&  = \alpha^k\,\operatorname{B}(1-k/\beta,\, 1+k/\beta) \\
& = \alpha^k\, {k\,\pi/\beta \over \sin(k\,\pi/\beta)}
\end{align}

où B() est la fonction bêta. L'expression pour les espérance mathématique, variance, coefficient d'asymétrie et coefficient d'applatissement (kurtosis) se tirent de l'expression précédente. En posant b=\pi/\beta, la moyenne prend la forme

 \operatorname{E}(X) = \alpha b / \sin b , \quad \beta>1,

et la variance devient

 \operatorname{Var}(X) = \alpha^2 \left( 2b / \sin 2b -b^2 / \sin^2 b \right), \quad \beta>2.

Les expressions explicites de la kurtosis et du skewness sont plus longues à reproduire[5]. Lorsque \beta tend vers l'infini, la moyenne (espérance) tend vers \alpha, la variance et le skewness tendent tous deux vers 0 et la kurtosis tend vers 6/5 (voir aussi #Distributions associées ci-dessous).

Quantiles[modifier | modifier le code]

L'inverse de la fonction de répartition est donnée par:

F^{-1}(p;\alpha, \beta) = \alpha\left( \frac{p}{1-p} \right)^{1/\beta}.

Il s'ensuit que la médiane est \alpha, le premier quartile est 3^{1/\beta} \alpha et le dernier quartile est 3^{-1/\beta} \alpha.

Applications[modifier | modifier le code]

Hazard function. \alpha=1, values of \beta as shown in legend

Analyse de survie[modifier | modifier le code]

La distribution log-logistique procure un modèle paramétrique pour l'analyse de survie (durée de vie). Contrairement à l'habituelle distribution de Weibull, cette densité permet une fonction de risque (défaillance) non-monotone: lorsque \beta>1, la fonction de risque est unimodale (lorsque \beta ≤ 1, le risque décroît de manière monotone). Le fait de disposer d'une expression explicite pour la fonction de répartition est un avantage pour l' analyse de survie avec des données tronquées (ou censurées)[6].

La fonction de survie est

S(t) = 1 - F(t) = [1+(t/\alpha)^{\beta}]^{-1},\,

et la fonction de risque est

 h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} = \frac{(\beta/\alpha)(x/\alpha)^{\beta-1}}
                                       {[1+(x/\alpha)^{\beta}]}.

Hydrologie[modifier | modifier le code]

La distribution log-logistique a permis de modéliser le débit des cours d'eau ou encore les précipitations.

Économie[modifier | modifier le code]

La distribution log-logistique permet en sciences économiques de modéliser simplement les inégalités de revenu, souvent sous la dénomination de distribution de Fisk[7]. Son coefficient de Gini est 1/\beta[8].

Distributions associées[modifier | modifier le code]

  • Si X a une distribution log-logistique avec pour paramètre d'échelle \alpha et pour paramètre de forme \beta alors Y = log(X) est distribué selon une loi logistique, avec pour paramètre de position \log(\alpha) et pour paramètre d'échelle \beta.
  • Lorsque le paramètre de forme \beta augmente, la distribution log-logistique s'approche de plus en plus d'une distribution logistique. Ou, de manière informelle, lorsque \beta\to \infty,
LL(\alpha, \beta) \to
       L(\alpha,\alpha/\beta).
  • La distribution log-logistique LL(\beta=1, \alpha) est identique à une distribution de Pareto généralisée, de paramètre de position \mu=0, de paramètre de forme \xi=1 et de paramètre d'échelle \alpha:
LL(\alpha,1) = GPD(1,\alpha,1).\,

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. M.M. Shoukri, I.U.M. Mian et D.S. Tracy, « Sampling Properties of Estimators of the Log-Logistic Distribution with Application to Canadian Precipitation Data », The Canadian Journal of Statistics, vol. 16, no 3,‎ 1988, p. 223-236 (lire en ligne)
  2. Fahim Ashkar et Smail Mahdi, « Fitting the log-logistic distribution by generalized moments », Journal of Hydrology, vol. 328,‎ 2006, p. 694-703 (DOI 10.1016/j.jhydrol.2006.01.014)
  3. Pandu R. Tadikamalla et Norman L. Johnson, « Systems of Frequency Curves Generated by Transformations of Logistic Variables », Biometrika, vol. 69, no 2,‎ 1982, p. 461-465 (lire en ligne)
  4. Pandu R. Tadikamalla, « A Look at the Burr and Related Distributions », International Statistical Review, vol. 48, no 3,‎ 1980, p. 337-344 (lire en ligne)
  5. Michael P. McLaughlin, « A Compendium of Common Probability Distributions »,‎ 2001 (consulté en 15-02-2008), p. A-37
  6. Steve Bennett, « Log-Logistic Regression Models for Survival Data », Applied Statistics, vol. 32, no 2,‎ 1983, p. 165-171 (lire en ligne)
  7. P.R. Fisk, « The Graduation of Income Distributions », Econometrica, vol. 29,‎ 1961, p. 171-185 (lire en ligne)
  8. (en) C. Kleiber et S Kotz, Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, Hoboken, Wiley,‎ 2003 (ISBN 978-0-471-15064-0, LCCN 2003041140)