Loi de Rice

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Rice
Image illustrative de l'article Loi de Rice
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
pour différentes valeurs de ν   avec σ = 1.
Rice probability density functions σ = 0.25
pour différentes valeurs de
ν   avec σ = 0,25.

Image illustrative de l'article Loi de Rice
Fonction de répartition
avec σ = 1,0 pour différentes valeurs de ν.
Rice cumulative distribution functions σ = 0.25
avec σ = 0,25 pour différentes valeurs de
ν.

Paramètres \nu\ge 0\,
\sigma\ge 0\,
Support x\in [0;\infty)
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{x}{\sigma^2}\exp\left(\frac{-(x^2+\nu^2)}
{2\sigma^2}\right)I_0\left(\frac{x\nu}{\sigma^2}\right)
Fonction de répartition 1-Q_1\left(\frac{\nu}{\sigma },\frac{x}{\sigma }\right)

Q_1 is the Marcum Q-Function

Espérance \sigma  \sqrt{\pi/2}\,\,L_{1/2}(-\nu^2/2\sigma^2)
Variance 2\sigma^2+\nu^2-\frac{\pi\sigma^2}{2}L_{1/2}^2\left(\frac{-\nu^2}{2\sigma^2}\right)
Asymétrie (compliqué)
Kurtosis normalisé (compliqué)

En statistiques et théorie des probabilités, la loi de Rice, nommée d'après Stephen O. Rice (en) (1907–1986), est une loi de probabilité à densité (c'est-à-dire continue).

C'est une généralisation de la loi de Rayleigh utilisée pour décrire le comportement d'un signal radio qui se propage selon plusieurs chemins (multipath) avant d'être reçu par une antenne.

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Soient deux variables de Gauss centrées, indépendantes, de même variance \sigma^2. Si on considère qu'elles représentent les deux coordonnées d'un point d'un plan, la distance de ce point à l'origine suit une loi de Rayleigh :

f(x,\sigma) = \frac{x}{\sigma^2}\exp\left(\frac{-x^2} {2\sigma^2}\right).

En supposant que la distribution est centrée sur un point de coordonnées (\nu\cos\theta,\nu\sin\theta) (coordonnées polaires (\nu,\theta)), la densité de probabilité devient :


f(x|\nu,\sigma) = \frac{x}{\sigma^2}\exp\left(\frac{-(x^2+\nu^2)}
{2\sigma^2}\right)I_0\left(\frac{x\nu}{\sigma^2}\right)

I0(z) est la fonction de Bessel modifiée de première espèce et d'ordre 0.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Moments[modifier | modifier le code]

Les premiers moments (non centrés) sont :

\mu_1=  \sigma  \sqrt{\pi/2}\,\,L_{1/2}(-\nu^2/2\sigma^2)
\mu_2= 2\sigma^2+\nu^2\,
\mu_3= 3\sigma^3\sqrt{\pi/2}\,\,L_{3/2}(-\nu^2/2\sigma^2)
\mu_4= 8\sigma^4+8\sigma^2\nu^2+\nu^4\,
\mu_5=15\sigma^5\sqrt{\pi/2}\,\,L_{5/2}(-\nu^2/2\sigma^2)
\mu_6=48\sigma^6+72\sigma^4\nu^2+18\sigma^2\nu^4+\nu^6\,
L_\nu(x)=L_\nu^0(x)=M(-\nu,1,x)=\,_1F_1(-\nu;1;x)

où, Lν(x) représente un polynôme de Laguerre.

Pour le cas ν = 1/2 :

L_{1/2}(x)=\,_1F_1\left( -\frac{1}{2};1;x\right)
=e^{x/2} \left[\left(1-x\right)I_0\left(\frac{-x}{2}\right) -xI_1\left(\frac{-x}{2}\right) \right].

Généralement les moments sont donnés par

\mu_k=s^k2^{k/2}\,\Gamma(1\!+\!k/2)\,L_{k/2}(-\nu^2/2\sigma^2), \,

s = σ1/2.

Lorsque k est pair, les moments deviennent des polynômes en σ et ν.

Distributions liées[modifier | modifier le code]

  • La variable r = \sqrt{x^2 + y^2} est distribué selon une loi de Rice R \sim \mathrm{Rice}\left(\sigma,\nu\right) à condition que X \sim N\left(\nu\cos\theta,\sigma^2\right) et Y \sim N\left(\nu \sin\theta,\sigma^2\right) soient deux variables gaussiennes indépendantes.
  • Pour obtenir une variable R \sim \mathrm{Rice}\left(\nu,\sigma\right), on peut considérer une autre procédure :
  1. Tirer P selon une loi de Poisson, de paramètre \lambda = \frac{\nu^2}{2\sigma^2}.
  2. Tirer X selon une loi du Chi-deux avec 2P + 2 degrés de liberté.
  3. Poser R = \sigma\sqrt{X}.
  • Si R \sim \mathrm{Rice}\left(1,\nu\right) alors R^2 possède une distribution Chi-deux non centré, à 2 degrés de liberté et un paramètre de non-centralité \nu^2.

Cas limites[modifier | modifier le code]

Pour de grandes valeurs de l'argument, le polynôme de Laguerre devient[1] :

\lim_{x\rightarrow -\infty}L_\nu(x)=\frac{|x|^\nu}{\Gamma(1+\nu)}.

On peut constater que lorsque ν devient grand ou que σ devient petit, alors la moyenne devient ν et la variance σ2.

Note et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun (éd.), Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, 1964; reprinted Dover Publications, 1965 (ISBN 0-486-61272-4), §13.5.1
  • (en) Stephen O. Rice, « Mathematical Analysis of Random Noise », dans Bell System Technical Journal, vol. 24, 1945, p. 46–156
  • (en) I. Soltani Bozchalooi et Ming Liang, « A smoothness index-guided approach to wavelet parameter selection in signal de-noising and fault detection », dans Journal of Sound and Vibration, vol. 308, no 1-2, 2007, p. 246–267 DOI:10.1016/j.jsv.2007.07.038
  • (en) John G. Proakis, Digital Communications, McGraw-Hill, 2000

Liens externes[modifier | modifier le code]