Loi de Rayleigh

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Rayleigh
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Densité de probabilité (ou fonction de masse)

Image illustrative de l'article Loi de Rayleigh
Fonction de répartition

Paramètres (nombre réel)
Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En probabilités et en statistiques, la loi de Rayleigh, ou distribution de Rayleigh, est une loi de probabilité à densité. Elle apparaît comme la norme d'un vecteur gaussien bi-dimensionnel dont les coordonnées sont indépendantes, centrées et de même variance. Cette loi de probabilité est baptisée d'après Lord Rayleigh.

Typiquement, la distance à laquelle une particule se trouve de son point de départ, après avoir effectué n pas d'une marche aléatoire symétrique dans le plan, suit approximativement une loi de Rayleigh de paramètre Dans un tout autre domaine, elle est fréquemment utilisée pour décrire l'enveloppe d'un processus de Gauss à bande étroite.

La densité de la loi de Rayleigh est

pour

Définition[modifier | modifier le code]

La loi de Rayleigh est la loi de probabilité de densité[1] :

pour

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les moments sont donnés par :

est la fonction Gamma.

L'espérance et la variance d'une variable aléatoire de Rayleigh X sont les suivantes :

et

La skewness est :

La kurtosis est :

La fonction caractéristique est :

est la fonction d'erreur complexe. La transformée de Laplace est

est la fonction d'erreur.

Entropie[modifier | modifier le code]

L'entropie est

est la constante d'Euler-Mascheroni.

Estimation du paramètre[modifier | modifier le code]

Étant données N variables de Rayleigh indépendantes et de même loi de paramètre , l'estimateur du maximum de vraisemblance de est

Engendrer des variables de Rayleigh[modifier | modifier le code]

Étant donnée une variable U uniforme sur l'intervalle (0, 1), la variable

suit la loi de Rayleigh de paramètre . Cela provient de la forme de la fonction de répartition, en particulier du théorème de la réciproque, et du fait que 1–U a même loi que U.

Lien avec d'autres distributions continues[modifier | modifier le code]

  • suit la loi de Rayleigh si , où et sont 2 variables gaussiennes indépendantes, ce qui explique le choix du symbole "σ" pour paramètriser la loi de Rayleigh.
  • Si , alors suit la loi du χ² avec deux degrés de liberté: qui est une loi exponentielle de paramètre 1/2.
  • Si suit une loi exponentielle , alors .
  • Si , et si les forment une suite de variables indépendantes, alors suit une loi gamma de paramètres et  : .
  • La loi de Rice est une généralisation de la loi de Rayleigh.

Lien avec certaines distributions discrètes[modifier | modifier le code]

Marche aléatoire dans le plan[modifier | modifier le code]

Trois réalisations de marches aléatoires isotropes sur le réseau (en 10 000 pas). La distance maximale (ou, aussi bien, la distance terminale) sont typiquement de l'ordre de 100 pas.

Notons la distance entre la position d'un marcheur au hasard dans le plan, après n pas au hasard, et son point de départ : converge en loi vers la loi de Rayleigh, ce qui signifie qu'en parcourant une distance n, le marcheur ne s'éloigne vraiment de son point de départ que de pas approximativement, la convergence vers la loi de Rayleigh permettant de préciser cette approximation.

Distance entre deux points au hasard d'un arbre de Cayley aléatoire[modifier | modifier le code]

À l'aide de la bijection de Joyal, on peut montrer que la loi de la distance entre deux points au hasard d'un arbre de Cayley aléatoire est donnée, pour par

On peut montrer, par exemple à l'aide du lemme de Scheffé, que converge en loi vers la loi de Rayleigh, ce qui indique que la distance "typique" entre deux points d'un arbre de taille n est de l'ordre de

Points cycliques d'une application[modifier | modifier le code]

En vertu de la bijection de Joyal, le nombre de points cycliques d'une application de dans , suit la même loi que Ainsi, converge en loi vers la loi de Rayleigh.

Problème des anniversaires[modifier | modifier le code]

Cette loi discrète apparaît aussi dans des problèmes d'allocations (boules et urnes), dont le fameux paradoxe des anniversaires. Lorsqu'on alloue séquentiellement des boules dans un ensemble de n urnes, avec équiprobabilité, ce qui revient à considérer un univers probabiliste le rang de la première boule à être allouée dans une urne non vide suit la même loi que Ainsi, converge en loi vers la loi de Rayleigh.

Pour n=365, soit 365 boîtes, s'interprète comme la taille du groupe pour laquelle il devient probable qu'au moins deux membres du groupe ait la même date d'anniversaire (il faut imaginer un groupe dont l'effectif augmente progressivement) : la probabilité que dans un groupe de personnes, toutes les dates d'anniversaire soit différentes, est approximativement

et vaut donc 1/2 pour un groupe d'approximativement (soit 22,5) personnes, ou bien 1/10 pour un groupe d'approximativement (soit 41) personnes. Le calcul exact du premier entier tel que cette probabilité soit plus petite que 1/2 (respectivement 1/10) donne les mêmes résultats : 23 (respectivement 41).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Loi de Rayleigh », MathWorld.