Loi du χ

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Loi du
Image illustrative de l'article Loi du χ
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres (degrés de liberté)
Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Fonction de répartition
Espérance
Mode pour
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie
Fonction génératrice des moments (voir détails dans l'article)
Fonction caractéristique (voir détails dans l'article)

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du (prononcer « khi ») est une loi de probabilité continue. C'est la loi de la moyenne quadratique de k variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite, le paramètre k est le nombre de degrés de liberté. L'exemple le plus courant est la loi de Maxwell, pour k=3 degrés de liberté d'une loi du  ; elle modélise la vitesse moléculaire (normalisée).

Si sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale avec pour moyenne et écart-type , alors la variable

est de loi du .

Caractérisations[modifier | modifier le code]

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi du est :

est la fonction gamma.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi du est :

est la fonction gamma incomplète (régularisée).

Fonctions génératrices[modifier | modifier le code]

Fonction génératrice des moments[modifier | modifier le code]

La fonction génératrice des moments est donnée par :

M est la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.

Fonction caractéristique[modifier | modifier le code]

La fonction caractéristique est donnée par :

M est encore la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Moments[modifier | modifier le code]

Les moments de la loi du sont donnés par :

est la fonction gamma. Les premiers moments sont :

où les expressions sont issues de la relation de récurrence de la fonction gamma :

à partir de ces expressions, on peut établir les relations suivantes pour l'espérance, la variance, l'asymétrie et enfin le kurtosis :

Entropie[modifier | modifier le code]

L'entropie est donnée par :

est la fonction polygamma.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

  • Si alors , (loi du χ²)
  • , (loi normale)
  • Si alors , (loi demi-normale) pour tout
  • , (loi de Rayleigh)
  • , (loi de Maxwell)
  • , (la norme de n variables de loi normale est de loi du à k degrés de liberté.)
  • la loi du est un cas particulier de la loi gamma généralisée.
Différentes lois du et
Lois en fonction de variables de loi normale
loi du χ²
loi du χ² non centrée
loi du χ
loi du χ non centrée

Liens externes[modifier | modifier le code]