Loi du demi-cercle

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Loi du demi-cercle
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Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres , rayon
Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du demi-cercle ou loi du demi-cercle de Wigner est une loi de probabilité sur l'intervalle [-R,R] et dont le graphe de la densité de probabilité est un demi-cercle de rayon R, centré en 0 et convenablement renormalisé, ce qui en fait, en fait, une ellipse. Cette loi est nommée d'après le physicien Eugene Wigner.

En théorie des nombres, la loi du demi-cercle est parfois appelée loi de Satō-Tate, voir la conjecture de Satō-Tate.

Cette loi apparait comme la loi limite des valeurs propres de beaucoup de matrices aléatoires quand la taille de la matrice tend vers l'infini.

Caractérisations[modifier | modifier le code]

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi du demi-cercle est :

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi du demi-cercle est :

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Moments[modifier | modifier le code]

Pour tout entier n, le 2n-ième moment de la loi du demi-cercle est

est le n-ième nombre de Catalan :

Ainsi les moments de la loi du demi-cercle sont les nombres de Catalan si . Par la propriété de symétrie, les moments d'ordre impair sont nuls.

Fonction génératrice[modifier | modifier le code]

En faisant la substitution dans la définition de la fonction génératrice des moments, on obtient :

Cette équation peut être résolue (voir Abramowitz et Stegun §9.6.18) :

est la fonction de Bessel modifiée.

Fonction caractéristique[modifier | modifier le code]

De manière similaire, la fonction caractéristique est donnée par :

est la fonction de Bessel. (voir Abramowitz et Stegun §9.1.20).

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

  • Lorsque R tend vers 0, la loi du demi-cercle converge vers la distribution de Dirac.
  • La loi du demi-cercle est un cas particulier de la loi bêta renormalisée. Plus précisément, si Y est de loi bêta de paramètres , alors suit la loi du demi-cercle.
  • La loi du demi-cercle est la limite de la loi Kesten-McKay lorsque son paramètre d tend vers l'infini.

Références[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]