Loi arc sinus

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Loi arc sinus
Image illustrative de l'article Loi arc sinus
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

Image illustrative de l'article Loi arc sinus
Fonction de répartition

Paramètres aucun
Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités, la loi arc sinus est une loi de probabilité à densité dont le support est un intervalle compact. Elle est un cas particulier de la loi bêta.

Loi standard[modifier | modifier le code]

la fonction de répartition de la loi arc sinus standard est donnée par :

pour , et dont la densité de probabilité est donnée par :

sur . La loi arc sinus standard est un cas particulier de la loi bêta avec les paramètres . Ainsi, si est de loi arc sinus standard alors

Généralisation[modifier | modifier le code]

Loi arc sinus – support borné
Paramètres
Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé

Support borné arbitraire[modifier | modifier le code]

La loi peut être étendu à tout support borné par une simple transformation de la fonction de répartition

pour , la densité de probabilité est ainsi

sur . Cette loi est notée .

Paramètre de forme[modifier | modifier le code]

La loi arc sinus standard généralisée sur avec pour densité de probabilité

est également un cas spécial de la loi bêta de paramètres . Le paramètre est appelé paramètre de forme. Lorsque , cette loi est la loi arc sinus standard.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La loi arc sinus est stable par translation et par multiplication par un facteur positif :
    • Si .
  • La loi arc sinus sur mise au carré est la loi arc sinus sur  :
    • Si .

Relations avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

  • Si et sont des variables indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme continue sur , alors , , , et ont toutes la loi arc sinus standard.
  • Si est de loi arc sinus généralisée de paramètre de forme et avec pour support l'intervalle fini , alors .

Loi limite du dernier retour à l'origine[modifier | modifier le code]

On considère la marche aléatoire définie comme la valeur atteinte après n lancers d'une pièce de monnaie équilibrée (pile = +1, face = -1). est la variable aléatoire définie comme le dernier instant où S a atteint 0 sur [0,2n] :

Alors la variable aléatoire converge en loi vers la loi arc sinus.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Arcsine distribution » (voir la liste des auteurs).