Loi de Xenakis

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Loi de Xenakis
Image illustrative de l'article Loi de Xenakis
Densité de probabilité
Densité de la loi de Xenakis de paramètre 1

Image illustrative de l'article Loi de Xenakis
Fonction de répartition
Fonction de répartition de la loi de Xenakis de paramètre 1; elle est proche de celle d'une loi exponentielle de paramètre e

Paramètres
Support
Densité de probabilité
pour
Fonction de répartition pour
Espérance
Médiane
Mode 0
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

La loi de Xenakis est la loi d'une variable aléatoire positive, utilisée par Iannis Xenakis en musique stochastique, par exemple pour les durées des notes et leur variation de hauteur[1].

Définition[modifier | modifier le code]

La loi de Xenakis est la loi de la longueur d'un segment inclus dans un segment de longueur [2]. C'est donc une loi triangulaire de paramètres 0, et 0.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Densité[modifier | modifier le code]

La densité de la loi de Xenakis est une fonction affine sur s'annulant en .

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi de Xenakis est du second degré. Par conséquent, on peut simuler celle-ci à l'aide d'une loi uniforme continue. En effet, si est une variable aléatoire uniforme sur , est une variable aléatoire de Xenakis de paramètre .

Loi de Xenakis de paramètre 1[modifier | modifier le code]

La loi de Xenakis sur est une loi bêta de paramètres 1 et 2. On peut donc définir la loi de Xenakis de paramètre 1 comme la loi du minimum de deux variables aléatoires uniformes sur .

Distributions associées[modifier | modifier le code]

  • Le minimum de deux variables aléatoires de Xenakis de paramètre 1 suit une loi bêta de paramètres 1 et 4.

Simulation[modifier | modifier le code]

Pour simuler une variable de Xenakis de paramètre 1 à partir de variables uniformes sur , on a le choix entre trois méthodes:

  1. la définition, en rappelant que la distance entre deux nombres est la valeur absolue de leur différence;
  2. Le fait qu'une variable de Xenakis est une variable de loi bêta, le minimum de deux nombres étant assez rapide à calculer (cette façon de faire n'était apparemment pas connue de Xenakis);
  3. l'utilisation de l'inverse de la fonction de répartition, qui est d'ailleurs celle utilisée par Xenakis[3].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Iannis Xenakis, Musiques formelles, Stock/Musique, (ISBN 2-234-01510-3, notice BnF no FRBNF36143274), Annexe
  2. Musiques formelles, chapitre 1
  3. Musiques formelles, appendice