Moyenne arithmétique

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En mathématiques, la moyenne arithmétique[1] d'une série de nombres réels est la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs. C'est ce qu'on appelle la moyenne en langage ordinaire.

Notation[modifier | modifier le code]

On note généralement la moyenne par le diacritique macron, caractère unicode u+0304, par exemple la moyenne des valeurs de est notée .

Sa formulation mathématique peut se faire comme suit :

Par exemple, dans une entreprise de trois employés ayant un salaire de 1 300, 1 700 et 3 000 euros, le salaire moyen est

Pour une série de valeurs dont le nombre total d’occurrences est inconnu, mais dont les fréquences sont connues pour chaque valeur possible de la série, la formulation mathématique devient :

Moyenne pondérée[modifier | modifier le code]

Parfois on souhaite attacher aux valeurs des poids différents (par exemple des coefficients pour les épreuves d'un concours). Dans ce cas à la série de valeurs on associe une série de coefficients ou poids . La moyenne arithmétique des valeurs pondérée par les poids est donnée par

Moyenne empirique et lien avec l'espérance[modifier | modifier le code]

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est la moyenne arithmétique de ses valeurs possibles pondérée par leur probabilité de réalisation.

Le terme moyenne empirique est utilisé en statistiques pour parler de la moyenne arithmétique d'un échantillon. La loi des grands nombres affirme que sous des hypothèses assez faibles la moyenne empirique d'un échantillon tends vers l'espérance de la variable aléatoire dont il est issu.

Contraste avec la médiane[modifier | modifier le code]

La médiane d'une série de nombres réels est une valeur m qui permet de couper l'ensemble des valeurs en deux parties égales : mettant d'un côté une moitié des valeurs, qui sont toutes inférieures ou égales à m et de l'autre côté l'autre moitié des valeurs, qui sont toutes supérieures ou égales à m.

La médiane est en général différente de la moyenne arithmétique, et moins affectée par les valeurs extrêmes. Par exemple considérons la série {1 ; 1 ; 2 ; 6}. La médiane est 1,5 alors que la moyenne est 2,5.

Plus généralement considérons une série de valeurs réelles . Alors la médiane est la valeur m qui minimise la somme des valeurs absolues des écarts, i.e.

alors que la moyenne arithmétique est la valeur qui minimise la somme des carrés des écarts, i.e.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. [PDF]Fabrice Mazerolle, « Moyenne arithmétique », .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]