Loi d'Irwin-Hall

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loi d'Irwin-Hall
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Densité de probabilité

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Fonction de répartition

Paramètres
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode
Variance
Asymétrie 0
Kurtosis normalisé
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités et en statistique, la loi d'Irwin-Hall, dénommée d'après le statisticien Joseph Oscar Irwin et le mathématicien Philip Hall, est une loi de probabilité définie comme la somme de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme continue[1] sur [0 ; 1].

Pour générer des nombres pseudo-aléatoires ayant une loi approximativement normale, on peut générer, par simplicité, des sommes de nombres pseudo-aléatoires de loi uniforme continue.

Il ne faut pas confondre cette loi avec la loi de Bates qui est la moyenne de variables aléatoires uniformes sur [0 ; 1].

Définition[modifier | modifier le code]

La loi d'Irwin–Hall est la loi de probabilité continue pour la somme de n variables aléatoires iid de loi uniforme continue sur [0 ; 1] :

Sa densité de probabilité est donnée par[2] :

sgn est la fonction signe :

Ainsi, la densité est une spline (fonction définie par morceaux par des polynômes) de degré n sur les nœuds 0, 1, ..., n. Plus précisément, pour x ∈ ]k, k+1[, la densité est

où les coefficients aj(k,n) sont obtenus par la relation de récurrence en k :

Premières valeurs[modifier | modifier le code]

  • Pour n = 3,
  • Pour n = 4,
  • Pour n = 5,

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La probabilité que X soit compris entre k et k+1 est égal à , où est un nombre eulérien[2].
  • La loi de la partie fractionnaire de X est une loi uniforme sur [0,1].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) N. Balakrishnan, N.L. Jonhson et S. Kotz, Continuous Univariate Distributions, vol. 2, Wiley, , 2e éd. (ISBN 0-471-58494-0), section 26.9
  2. a et b (en) I. A. Salama et L. L. Kupper, « A Geometric Interpretation for the Eulerian Numbers », Amer. Math. Monthly, vol. 93, no 1,‎ , p. 51-52

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Irwin, J.O. (1927) "On the Frequency Distribution of the Means of Samples from a Population Having any Law of Frequency with Finite Moments, with Special Reference to Pearson's Type II". Biometrika, Vol. 19, No. 3/4., p. 225–239. DOI:10.1093/biomet/19.3-4.225 JSTOR:2331960
  • Hall, Philip. (1927) "The Distribution of Means for Samples of Size N Drawn from a Population in which the Variate Takes Values Between 0 and 1, All Such Values Being Equally Probable". Biometrika, Vol. 19, No. 3/4., p. 240–245. DOI:10.1093/biomet/19.3-4.240 JSTOR:2331961