Loi logistique

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Loi logistique
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Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres \mu\, réel
s> 0\, réel
Support x \in ]- \infty ,+  \infty[
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}\!
Fonction de répartition \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}\!
Espérance \mu\,
Médiane \mu\,
Mode \mu\,
Variance \frac{\pi^2}{3} s^2\!
Asymétrie 0\,
Kurtosis normalisé 6/5\,
Entropie \ln(s)+2\,
Fonction génératrice des moments e^{\mu\,t}\,\mathrm{B}(1-s\,t,\;1+s\,t)\!
pour |s\,t|<1\!, Fonction bêta
Fonction caractéristique e^{i \mu t}\,\mathrm{B}(1-ist,\;1+ist)\,
pour |ist|<1\,

En probabilité, la loi logistique de paramètre μ et s > 0 est une loi de probabilité dont la densité est

f(x) = \frac{e^{-\frac{x-\mu}{s}}}{s\left(1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}\right)^2}

Sa fonction de répartition est

F(x) = \frac{1}{1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}}

Son nom de loi logistique est issu du fait que sa fonction de répartition est une fonction logistique Son espérance et sa variance sont données par les formules suivantes :

 E(X) = \mu\,
 V(x)=\frac{s^2\pi^2}{3}

Elle est utilisée en régression logistique.

La loi logistique standard est la loi logistique de paramètre 0 et 1. Sa fonction de répartition est la sigmoïde :

F(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}

Son espérance et sa variance sont données par les formules suivantes :

 E(X) = 0\,
 V(x)=\frac{\pi^2}{3}

Elle est notamment utilisée dans le Classement Elo.

Voir aussi[modifier | modifier le code]