Loi zêta

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Zêta
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Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

En théorie de probabilité et statistiques, la distribution zêta est une loi discrète de paramètre  s > 1 .

Définition[modifier | modifier le code]

On dit qu'une variable aléatoire  X suit une loi zêta de paramètre  s si :

\mathbb{P}(X=k)=k^{-s}/\zeta(s)\,

\zeta est la fonction zêta de Riemann non définie en 1.

Moments[modifier | modifier le code]

Le n-ième moment est défini par l'espérance de Xn:

m_n = \mathbb{E}(X^n) = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{s-n}}

La série de droite est une représentation de la fonction zêta de Riemann et converge seulement pour les valeurs de s-n strictement supérieures à 1. Ainsi:

m_n =\left\{
\begin{matrix}
\zeta(s-n)/\zeta(s) & \textrm{pour}~n < s-1 \\
\infty & \textrm{pour}~n \ge s-1
\end{matrix}
\right.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]