Loi zêta

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Zêta
Image illustrative de l'article Loi zêta
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

Image illustrative de l'article Loi zêta
Fonction de répartition

En théorie de probabilité et statistiques, la distribution zêta est une loi discrète de paramètre  s > 1 .

Définition[modifier | modifier le code]

On dit qu'une variable aléatoire  X suit une loi zêta de paramètre  s si :

\mathbb{P}(X=k)=k^{-s}/\zeta(s)\,

\zeta est la fonction zêta de Riemann non définie en 1.

Moments[modifier | modifier le code]

Le n-ième moment est défini par l'espérance de Xn:

m_n = \mathbb{E}(X^n) = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{s-n}}

La série de droite est une représentation de la fonction zêta de Riemann et converge seulement pour les valeurs de s-n strictement supérieures à 1. Ainsi:

m_n =\left\{
\begin{matrix}
\zeta(s-n)/\zeta(s) & \textrm{pour}~n < s-1 \\
\infty & \textrm{pour}~n \ge s-1
\end{matrix}
\right.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]