Loi triangulaire

En théorie des probabilités, une loi triangulaire est une loi de probabilité dont la fonction de densité est affine de sa borne inférieure à son mode et de son mode à sa borne supérieure. Elle est mentionnée sous deux versions : une loi discrète et une loi continue.

Version discrète

La loi triangulaire discrète de paramètre entier positif a est définie pour tout entier x compris entre -a et a par :

$\mathrm {P} (x)={\frac {a+1-|x|}{(a+1)^{2}}}$.

Version continue

Triangulaire
Densité de probabilité Densité de la loi triangulaire
Fonction de répartition Fonction de répartition de la loi triangulaire
Paramètres	$a:~a\in (-\infty ,\infty )$ $b:~b>a\,$ $c:~a\leq c\leq b\,$
Support	$a\leq x\leq b\!$
Densité de probabilité	$\left\{{\begin{matrix}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{pour }}a<x\leq c\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{pour }}c<x\leq b\end{matrix}}\right.$
Fonction de répartition	$\left\{{\begin{matrix}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{pour }}a<x<c\\1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{pour }}c<x\leq b\end{matrix}}\right.$
Espérance	${\frac {a+b+c}{3}}$
Médiane	$\left\{{\begin{matrix}a+{\frac {\sqrt {(b-a)(c-a)}}{\sqrt {2}}}&{\text{pour }}c\!\geq \!{\frac {b\!-\!a}{2}}\\&\\b-{\frac {\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {2}}}&{\text{pour }}c\!\leq \!{\frac {b\!-\!a}{2}}\end{matrix}}\right.$
Mode	$c\,$
Variance	${\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}$
Asymétrie	${\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}$
Kurtosis normalisé	$-{\frac {3}{5}}$
Entropie	${\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)$
Fonction génératrice des moments	$2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}$
Fonction caractéristique	$-2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}$

Caractérisation

La loi triangulaire continue sur le support ]a ; b[ et de mode c a pour fonction de densité :

$f\colon x\mapsto {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{ si }}a<x\leq c\\\\\displaystyle {\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\mbox{ si }}c<x<b\\\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}$

Dans de nombreux domaines, la loi triangulaire est considérée comme une version simplifiée de la loi bêta.

Liens avec la loi uniforme

Soit X₁ et X₂ deux variables indépendamment et identiquement distribuées selon une loi uniforme standard. Alors:

• la distribution de la moyenne

  $\mathrm {Y} :={\frac {\mathrm {X} _{1}+\mathrm {X} _{2}}{2}}$

est une loi triangulaire de paramètres a = 0, b = 1 et c = ½. C'est alors un cas particulier de la loi Bates, avec n = 2.

• la distribution de l'écart absolu

  $\mathrm {Z} :=|\mathrm {X} _{1}-\mathrm {X} _{2}|$

est aussi distribué selon une loi triangulaire de paramètres a = 0, b = 1 et c = 0.