Loi de Voigt

Loi de Voigt
Densité de probabilité La courbe noire est la densité de la loi gaussienne ( $γ =0$ ), la courbe rouge est celle de la loi de Cauchy( $σ =0$ ).


Fonction de répartition

Paramètres	$\gamma ,\sigma >0$
Support	$x\in ]-\infty ,\infty [$
Densité de probabilité	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\Re \left[w\left({\frac {x+\mathrm {i} \gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]$
Espérance	(non définie)
Médiane	$0$
Mode	$0$
Variance	(non définie)
Asymétrie	(non définie)
Kurtosis normalisé	(non définie)
Fonction génératrice des moments	(non définie)
Fonction caractéristique	$\mathrm {e} ^{-\gamma \|t\|-\sigma ^{2}t^{2}/2}$
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Voigt est la loi de probabilité continue dépendant de paramètres $σ$ et $γ$ dont la densité est donnée par la fonction de Voigt. Cette densité peut s'exprimer par la formule :

V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}{\textrm {Re}}\left[w\left({\frac {x+\mathrm {i} \gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]

où $Re[w (•)]$ est la partie réelle de la fonction d'erreur complexe ou fonction de Faddeevafonction de Faddeeva.

Une variable aléatoire suivant la loi de Voigt sera notée : $X\sim \mathrm {Voigt} (\sigma ,\gamma )$ .

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi de Voigt est donnée par :

F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\mathrm {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\mathrm {d} x=\mathrm {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,\mathrm {d} z\right)

où z est donnée par $z={\frac {x+\mathrm {i} \gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}$ . Par le calcul de l'intégrale généralisée de la fonction d'erreur complexe grâce à la fonction d'erreur réelle :

{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,\mathrm {d} z={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \mathrm {e} ^{-z^{2}}\left[1-\mathrm {erf} (-\mathrm {i} z)\right]\,\mathrm {d} z,

la fonction de répartition s'écrit alors sous la forme :

F(x;\mu ,\sigma )=\mathrm {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {erf} (z)}{2}}+{\frac {\mathrm {i} z^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right]

où $\,_{2}F_{2}()$ est la fonction hypergéométrique.

Fonction caractéristique[modifier | modifier le code]

La fonction lorentzienne ne possède pas de moments, ainsi la loi de Voigt non plus. Cependant elle possède une fonction caractéristique donnée par la formule :

\varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=\mathbb {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} xt})=\mathrm {e} ^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.

Loi non centrée[modifier | modifier le code]

La loi de Voigt est la convolée d'une loi normale et d'une loi de Cauchy. Si la loi gaussienne est centrée en $μ G$ et la loi de Cauchy en $μ L$ , la convolée sera centrée en $μ G + μ L$ et la fonction caractéristique sera alors donnée par la formule :

\varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.

Le mode et la médiane valent alors $μ G + μ L$ .

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Si $X\sim \mathrm {Voigt} (\sigma ,0)$ , alors $X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma )$ ,
Si $X\sim \mathrm {Voigt} (0,\gamma )$ , alors $X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )$ ,
Si $Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma )$ et $Z\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )$ indépendantes, alors $X=Y+Z\sim \mathrm {Voigt} (\sigma ,\gamma )$ .

Références[modifier | modifier le code]

Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Fonction de Voigt » (voir la liste des auteurs).
(en) Jong-Sen Lee, « Monte Carlo Simulation of Voigt Distribution in Photon Diffusion Problems », Astrophysical Journal, vol. 187,‎ 1974, p. 159-162 (lire en ligne)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Portail des probabilités et de la statistique