Loi du χ non centrée

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Loi du non centrée
Paramètres (degrés de liberté)

Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Espérance
Variance

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du non centrée est une généralisation la loi du χ. Si , sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale de moyennes et écart-type respectifs et , alors

est une variable aléatoire de loi du non centrée. Cette loi a deux parametres : un entier qui spécifie le nombre de degrés de liberté (c'est-à-dire le nombre de variables ), et un réel relatif à la moyenne des variables par la formule :

On dira que X suit une loi du χ non centrée avec k degrés de liberté et de paramètre λ, on notera

Propriétés[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité est donnée par :

est la fonction de Bessel modifiée de première espèce.

Les premiers moments sont :

est le polynôme de Laguerre généralisé. Il est à remarquer que le deuxième moment est le même que le n-ième moment de la loi du χ² non centrée où le paramètre est remplacé par .

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

  • Si est une variable aléatoire de loi du χ² non centrée, alors la variable aléatoire est une variable aléatoire de loi du χ non centrée.
  • Si est de loi du χ, , alors est également de loi du χ non centrée : . En d'autres termes, la loi du χ est un cas particulier de la loi du χ non centrée avec le paramètre .
  • La loi du χ non centrée à deux degrés de liberté est similaire à la loi de Rice avec .
  • Si X suit une loi du χ non centrée avec un degré de liberté et le paramètre λ, alors σX suit une loi normale repliée avec paramètres σλ et σ2 pour toute valeur de σ.
Différentes lois du et
Lois en fonction de variables de loi normale
loi du χ²
loi du χ² non centrée
loi du χ
loi du χ non centrée