Théorème de König-Huygens

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En statistiques et en théorie des probabilités, le théorème de König-Huygens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.

Énoncé en probabilités[modifier | modifier le code]

Le théorème de König-Huygens énonce de la façon suivante :

Théorème — Pour toute variable aléatoire réelle qui admet un moment d'ordre 2, on a :

.

Énoncé en statistiques[modifier | modifier le code]

Ce théorème peut également s'appliquer pour une décomposition de la formule de la variance empirique:

Théorème — On a :

Généralisation[modifier | modifier le code]

Cette formulation est en fait un cas particulier d'une identité plus générale:

Identité — On a :

Remarque :

En passant le deuxième terme de droite à gauche et en prenant a=0 on retrouve la formule de la variance montrée plus haut:

Et donc si

Relation avec la fonction de Leibniz[modifier | modifier le code]

Ce théorème est un cas particulier de simplification de la fonction scalaire de Leibniz concernant des barycentres.

En effet, la moyenne est le barycentre du système pondéré . La simplification de la fonction scalaire de Leibniz donne pour le système de barycentre  :

En remplaçant par , par , par et par , on obtient

Ce qui est, à un facteur près et à l'ordre près, la formule précédente.

Énoncé en mécanique (Théorème d'Huygens)[modifier | modifier le code]

Soit un système de points matériels , de masses respectives , de masse totale , de centre de masse et un point distant de du point . Le théorème de transport ou théorème de Huygens ou théorème de Steiner donne le moment d'inertie du système par rapport à en fonction de le moment d'inertie du système par rapport à  :

avec

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill et Duane C. Boes, Introduction to the Theory of Statistics, New Delhi, Tata McGraw-Hill, (ISBN 978-0-07-042864-5, LCCN 73000292), p. 564