Loi bêta

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Beta
Image illustrative de l'article Loi bêta
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres forme (réel)
forme (réel)
Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Fonction de répartition
Espérance
Mode pour
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur [0,1], paramétrée par deux paramètres de forme, typiquement notés α et β. C'est un cas spécial de la loi de Dirichlet, avec seulement deux paramètres.

Admettant une grande variété de formes, elle permet de modéliser de nombreuses distributions à support fini. Elle est par exemple utilisée dans la méthode PERT.

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Fonction de densité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi bêta est :

est la fonction gamma et est la fonction caractéristique de [0,1]. La fonction bêta, B, apparaît comme une constante de normalisation, permettant à la densité de s'intégrer à l'unité.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition est

est la fonction bêta incomplète et est la fonction bêta incomplète régularisée.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Moments[modifier | modifier le code]

Voir infobox.

Formes[modifier | modifier le code]

La densité de la loi bêta peut prendre différentes formes selon les valeurs des deux paramètres:

  • est en forme de U (graphe rouge);
  • ou est strictement décroissant (graphe bleu);
    • est strictement convexe;
    • est une droite;
    • est strictement concave;
  • est la loi uniforme continue;
  • ou est strictement croissant (graphe vert);
    • est strictement convexe;
    • est une droite;
    • est strictement concave;
  • est unimodal (graphes noir et violet).

Qui plus est, si alors la densité est symétrique autour de 1/2 (graphes rouge et violet).

Généralisations[modifier | modifier le code]

La loi bêta peut se généraliser en :

Estimation des paramètres[modifier | modifier le code]

Soit la moyenne empirique

et

la variance. La méthode des moments fournit les estimations suivantes:

Distributions associées[modifier | modifier le code]

  • Si a une distribution bêta, alors la variable aléatoire est distribuée selon la loi bêta prime ;
  • La loi bêta-binomiale est la loi conjuguée de la loi bêta ;
  • La loi est identique à la loi uniforme continue ;
  • Si et sont indépendamment distribués selon une loi Gamma, de paramètres et respectivement, alors la variable aléatoire est distribuée selon une loi  ;
  • Si selon une loi uniforme, alors  ;
  • La k-ème statistique d'ordre d'un n-échantillon de lois uniformes suit la loi .
  • La loi est appelée loi arc sinus

Liens externes[modifier | modifier le code]


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Beta distribution » (voir la liste des auteurs).