Loi binomiale négative étendue

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Loi binomiale négative tronquée étendue
Paramètres


[1]
Support
Fonction de masse
Fonction génératrice des probabilités

En théorie des probabilités et en statistique, la loi binomiale négative tronquée étendue[2],[3] (ou simplement loi binomiale négative étendue[4]) est une loi de probabilité discrète qui étend la loi binomiale négative ainsi que sa version tronquée[5] pour laquelle des méthodes d'estimation ont été étudiées[6].

Dans le contexte de la science actuarielle, la loi apparait, pour la première fois, dans sa forme générale (c'est-à-dire pour un paramètre m entier strictement positif quelconque) dans un article de Klaus Hess, Anett Liewald et Klaus D. Schmidt[4] en 2002 où les auteurs caractérisent la loi par une extension de l'itération de Panjer (en). La loi binomiale négative tronquée étendue dans le cas m=1 a été introduite par Steinar Engen en 1974[7].

Une loi binomiale négative tronquée étendue dépend de trois paramètres : un entier positif non nul m, un réel p entre 0 (inclus) et 1 (exclus) et un réel r strictement compris entre -m et -m+1.

Définition[modifier | modifier le code]

Pour un entier naturel et des paramètres réels et , la loi binomiale négative étendue est définie par sa fonction de masse :

et

est un coefficient binomial généralisé, étant la fonction gamma et désignant la factorielle décroissante.

Fonction génératrice des probabilités[modifier | modifier le code]

En utilisant la représentation avec les coefficients binomiaux, la fonction génératrice des probabilités de la loi binomiale négative étendue est donnée par :

Pour le cas m = 1, et donc pour , la fonction génératrice s'écrit

Références[modifier | modifier le code]

  1. On peut aussi considérer le cas où r>0 (mais dans ce cas p ne peut être nul). On observe alors que la loi binomiale négative étendue n'est autre que la loi binomiale négative tronquée en m, c'est-à-dire, conditionnée à être supérieure ou égale à la valeur m.
  2. (en) Gordon Willmot, « Sundt and Jewell's family of discrete distributions », ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA, vol. 18(1),‎ , p. 17-29 (DOI AST.18.1.2014957, lire en ligne)
  3. J F Walhin, « La loi de Poisson-Katz en assurance : avantages et inconvénients »
  4. a et b (en) Klaus T Hess, Anett Liewald et Klaus D Schmidt, « An Extension of Panjer's Recursion », ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA, vol. 32(2),‎ , p. 283-297 (DOI AST.32.2.1030, lire en ligne)
  5. Jonhnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete Distributions, 2nd edition, Wiley (ISBN 0-471-54897-9) (page 227)
  6. Shah S.M. (1971) "The displaced negative binomial distribution", Bulletin of the Calcutta Statistical Association, 20, 143–152
  7. (en) Steinar Engen, « On species frequency models », Biometrika, vol. 61,‎ , p. 263-270 (DOI https://doi.org/10.2307/2334353, lire en ligne)