Loi multinomiale

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Multinomiale
Paramètres nombre d'épreuves (entier)
probabilités des événements ()
Support
Fonction de masse
Espérance
Variance
()
Fonction génératrice des moments

La loi binomiale concerne le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. La loi multinomiale est une généralisation de celle-ci, applicable par exemple à n jets d'un à six faces. Contrairement à ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont généralement pas équiprobables.

Autre présentation de la loi binomiale[modifier | modifier le code]

La fonction de probabilité de la variable aléatoire binomiale qui s'écrit

peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables dont la somme est égale à n :

Généralisation[modifier | modifier le code]

Dans le cas multinomial à résultats possibles au lieu de 2, les variables deviennent , et correspondent aux probabilités , avec les contraintes

La fonction de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

Chacune des variables reste une variable binomiale dont la moyenne et la variance sont

tandis que les covariances s'écrivent

Approximation[modifier | modifier le code]

Lorsque la variable aléatoire devient assez grande, le théorème central limite montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite .

Si ces variables étaient indépendantes, suivrait une loi du à degrés de liberté.

Du fait de la contrainte linéaire qui s'applique, la variable suit une loi du à degrés de liberté.

Cette dernière remarque est à la base du test du χ².