Loi multinomiale

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Multinomiale ou polynomiale
Paramètres nombre d'épreuves (entier)
probabilités des événements ()
Support
Fonction de masse
Espérance
Variance
()
Fonction génératrice des moments

En théorie des probabilités, les lois multinomiales (aussi appelée distributions polynomiales[1]) généralisent les lois binomiales. Ces dernières concernent le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. Les lois multinomiales, elles, sont applicables par exemple à n jets d'un à six faces. Contrairement à ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont généralement pas équiprobables.

Rappel sur les lois binomiales[modifier | modifier le code]

Pile ou face.

On considère une pièce de monnaie où la probabilité de faire « pile » est p. On considère une variable aléatoire binomiale K : il s'agit du nombre de « piles » obtenus pour n lancers d'une pièce de monnaie. La fonction de probabilité s'écrit

.

Cette fonction peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables et dont la somme est égale à n : est le nombre de « piles » obtenus durant n lancers et est le nombre de « faces » obtenues durant ces n lancers. Formellement,

.

Définition[modifier | modifier le code]

Un dé à six faces.

Dans le cas multinomial à résultats possibles au lieu de 2, les variables aléatoires deviennent , et correspondent aux probabilités , avec les contraintes

.

Par exemple, pour n lancers d'un dé à six faces, est le nombre de fois où on obtient . Pour un dé non pipé, on a pour tout . Si le dé est pipé, alors les valeurs sont différentes.

La fonction de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Chacune des variables suit une loi binomiale dont l'espérance et la variance sont

tandis que les covariances s'écrivent

.

Approximation[modifier | modifier le code]

Approximation par loi normale[modifier | modifier le code]

Lorsque la variable aléatoire Ni devient assez grande, le théorème central limite montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite .

Lien avec la loi du chi 2[modifier | modifier le code]

Si ces variables étaient indépendantes, suivrait une loi du χ2 à m degrés de liberté. Mais les variables ne sont pas indépendantes : en effet, nous avons la contrainte linéaire . Du fait de cette contrainte linéaire, la variable suit une loi du χ2 à (m - 1) degrés de liberté. [pas clair]

Cette dernière remarque est à la base du test du χ².

Références[modifier | modifier le code]

  1. Pierre Dagnélie, Statistiques théorique et appliquée, éditions de Boeck, Bruxelles, 2013.