Loi multinomiale

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Multinomiale
Paramètres nombre d'épreuves (entier)
probabilités des événements ()
Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Espérance
Variance
()
Fonction génératrice des moments

La loi binomiale concerne le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. La loi multinomiale est une généralisation de celle-ci, applicable par exemple à n jets d'un à six faces. Contrairement à ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont généralement pas équiprobables.

Autre présentation de la loi binomiale[modifier | modifier le code]

La fonction de probabilité de la variable aléatoire binomiale qui s'écrit

peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables dont la somme est égale à n :

Généralisation[modifier | modifier le code]

Dans le cas multinomial à résultats possibles au lieu de 2, les variables deviennent , et correspondent aux probabilités , avec les contraintes

La fonction de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

Chacune des variables reste une variable binomiale dont la moyenne et la variance sont

tandis que les covariances s'écrivent

Approximation[modifier | modifier le code]

Lorsque la variable aléatoire devient assez grande, le théorème central limite montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite .

Si ces variables étaient indépendantes, suivrait une loi du à degrés de liberté.

Du fait de la contrainte linéaire qui s'applique, la variable suit une loi du à degrés de liberté.

Cette dernière remarque est à la base du test du χ².