Loi multinomiale

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Multinomiale ou polynomiale
Paramètres nombre d'épreuves (entier)
probabilités des événements ()
Support
Fonction de masse
Espérance
Variance
()
Fonction génératrice des moments

Les lois binomiales concernent le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. Les lois multinomiales (aussi appelée distributions polynomiales[1]) sont une généralisation de celles-ci, applicable par exemple à n jets d'un à six faces. Contrairement à ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont généralement pas équiprobables.

Autre présentation de la loi binomiale[modifier | modifier le code]

La fonction de probabilité d'une variable aléatoire binomiale K qui s'écrit

peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables dont la somme est égale à n :

Généralisation[modifier | modifier le code]

Dans le cas multinomial à résultats possibles au lieu de 2, les variables deviennent , et correspondent aux probabilités , avec les contraintes

La fonction de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

Chacune des variables reste une variable binomiale dont la moyenne et la variance sont

tandis que les covariances s'écrivent

Approximation[modifier | modifier le code]

Lorsque la variable aléatoire Ni devient assez grande, le théorème central limite montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite .

Si ces variables étaient indépendantes, suivrait une loi du χ2 à m degrés de liberté.

Du fait de la contrainte linéaire qui s'applique, la variable suit une loi du χ2 à (m - 1) degrés de liberté.

Cette dernière remarque est à la base du test du χ².

Références[modifier | modifier le code]

  1. Statistiques théorique et appliquée, Pierre Dagnélie, Editions de Boeck, Bruxelles 2013