Fonction génératrice des probabilités

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des probabilités, une fonction génératrice des probabilités est une série génératrice associée à une suite de probabilités, permettant d'en étudier les propriétés ; on l'identifie à la fonction dont elle est le développement en série entière.

Définitions générales[modifier | modifier le code]

Article détaillé : série génératrice.

La fonction génératrice de la suite (an) est la série formelle définie par

On identifie souvent la fonction génératrice à une fonction de la variable x, mais une fonction génératrice est avant tout une série formelle, la fonction de la variable x correspondante ne convergeant pas pour tout x.

  • fonction génératrice de la suite constante 1 :
  • fonction génératrice de la suite (n) :
  • fonction génératrice de la suite  :
  • fonction génératrice de la suite  :

On parle aussi de fonction génératrice exponentielle de la suite (an) définie par la série formelle .

Lorsque l'on travaille plutôt avec l'inverse de X, la variable z=1/X, on parle alors de la transformée en Z, , qui est beaucoup utilisée en traitement du signal et en asservissements.

On peut retrouver la suite initiale (an) à partir de la fonction génératrice (resp. la fonction génératrice exponentielle ) selon les formules

Utilisation en théorie des probabilités[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

En théorie des probabilités, soit X une variable aléatoire entière et positive, la fonction génératrice de X est la série entière:

est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur k ; les coefficients de la série étant des probabilités, il est clair que le rayon de convergence de la série est , et donc qu'on peut, dans ce cas, identifier la série formelle à la fonction dont elle est le développement en série entière.

Fonctions génératrices de lois usuelles[modifier | modifier le code]

  • Pour la loi de Poisson de paramètre λ, on a et il vient
  • Pour la loi binomiale de paramètres (n, p), on a et on en déduit

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Le rayon de convergence de cette série entière est toujours supérieur ou égal à 1.
  • On peut remarquer que
  • Si X admet une espérance alors et sa dérivée sont définies en t=1 et on a:
  • Si X admet une variance , et donc une espérance alors et ses dérivées première et seconde sont définies en t=1 et on a:
  • Si deux variables aléatoires réelles discrètes à valeurs dans admettent la même fonction génératrice, alors elles ont la même loi de probabilité[1].
  • Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes entières et positives. Si X et Y sont indépendantes alors on a:
Remarque : La réciproque est fausse.
  • Si X1, X2, ..., Xn est une suite de variables aléatoires indépendantes, et si
où les ai sont des constantes, alors
  • Par exemple, si les Xi ont de plus même loi (et donc même fonction génératrice G), alors
a pour fonction génératrice :

Composition des fonctions génératrices[modifier | modifier le code]

La propriété suivante est particulièrement utile à l'étude des processus de Galton-Watson.

Théorème — Soit une suite de variables aléatoires de même loi et une variable aléatoire, toutes à valeurs dans

  • On pose
  • On suppose que est une famille de variables aléatoires indépendantes.

Alors :

Généralisation aux variables aléatoires non entières[modifier | modifier le code]

Cette notion de fonction génératrice se généralise aux variables aléatoires continues par les fonctions caractéristiques. Une autre notion utile est la fonction génératrice des moments.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Notes[modifier | modifier le code]

  1. Ce résultat est induit par le fait qu'il existe une relation bijective entre une loi de probabilité et sa fonction génératrice. La loi de probabilité définit la fonction génératrice F et, réciproquement, on retrouve la loi de probabilité à partir de F puisque . Cette relation justifie l'appellation anglaise de Probability-generating function (en)

Bibliographie[modifier | modifier le code]