Loi de Gauss-Kuzmin

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Loi Gauss-Kuzmin
Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode
Variance
Asymétrie (non définie)
Kurtosis normalisé (non défini)
Entropie 3.4325275[1],[2]...

En théorie des probabilités, la loi de Gauss-Kuzmin est une loi de probabilité discrète à support infini qui apparaît comme loi de probabilité asymptotique des coefficients dans le développement en fraction continue d'une variable aléatoire uniforme sur [3]. Le nom provient de Carl Friedrich Gauss qui considéra cette loi en 1800[4], et de Rodion Kuzmin qui donna une borne pour la vitesse de convergence en 1929[5],[6] par l'intermédiaire de la fonction de masse :

Théorème de Gauss-Kuzmin[modifier | modifier le code]

Soit une variable aléatoire uniforme sur et

son développement en fraction continue. Alors

Ou de manière équivalente, en notant alors

converge vers 0 quand tend vers l'infini.

Vitesse de convergence[modifier | modifier le code]

En 1928, Kuzmin donne la borne

En 1929, Paul Lévy[7] l'améliore en majorant

Plus tard, Eduard Wirsing (de) montre[8] que pour (la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing), la limite

existe pour tout , et la fonction est analytique et satisfait . D'autres bornes ont été établies par K.I.Babenko[9].

Article connexe[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) N. Blachman, « The continued fraction as an information source (Corresp.) », IEEE Transactions on Information Theory, vol. 30, no 4,‎ , p. 671–674 (DOI 10.1109/TIT.1984.1056924)
  2. (en) P. Kornerup et D. Matula, « LCF: A lexicographic binary representation of the rationals », Journal of Universal Computer Science, vol. 1,‎ , p. 484–503
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Gauss–Kuzmin Distribution », MathWorld
  4. (en) C.F. Gauss, Werke Sammlung, vol. 10/1 (lire en ligne), p. 552–556
  5. (en) R.O. Kuzmin, « On a problem of Gauss », DAN SSSR,‎ , p. 375–380
  6. (en) R.O. Kuzmin, « On a problem of Gauss », Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna, vol. 6,‎ , p. 83–89
  7. P. Lévy, « Sur les lois de probabilité dont dépendent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue », Bulletin de la Société mathématique de France, vol. 57,‎ , p. 178–194 (lire en ligne)
  8. (en) E. Wirsing, « On the theorem of Gauss–Kusmin–Lévy and a Frobenius-type theorem for function spaces », Acta Arithmetica, vol. 24,‎ , p. 507–528
  9. (en) K.I. Babenko, « On a problem of Gauss », Soviet Math. Dokl., vol. 19,‎ , p. 136–140