Loi du cosinus surélevé

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Loi du cosinus surélevé
Image illustrative de l'article Loi du cosinus surélevé
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres \mu\in\mathbb R

s>0\,

Support x \in [\mu-s,\mu+s]\,
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{1}{2s}
\left[1+\cos\left(\frac{x\!-\!\mu}{s}\,\pi\right)\right]\,
Fonction de répartition \frac{1}{2}\left[1\!+\!\frac{x\!-\!\mu}{s}
\!+\!\frac{1}{\pi}\sin\left(\frac{x\!-\!\mu}{s}\,\pi\right)\right]
Espérance \mu\,
Médiane \mu\,
Mode \mu\,
Variance s^2\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{\pi^2}\right)\,
Asymétrie 0\,
Kurtosis normalisé \frac{6(90-\pi^4)}{5(\pi^2-6)^2}\,
Fonction génératrice des moments \frac{\pi^2\sinh(s t)}{st(\pi^2+s^2 t^2)}\,e^{\mu t}
Fonction caractéristique \frac{\pi^2\sin(s t)}{st(\pi^2-s^2 t^2)}\,e^{i\mu t}

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du cosinus surélevé est une loi de probabilité continue définie à partir de la fonction cosinus. Elle dépend de deux paramètres : un réel \mu qui est la moyenne et un paramètre positif s décrivant la variance.

Lorsque \mu=0 et s=1, la loi est appelée loi du cosinus surélevé standard.

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi du cosinus surélevé a pour support l'intervalle [\mu-s,\mu+s] et est donnée par :

f(x;\mu,s)=\begin{cases} \frac{1}{2s} \left[1+\cos\left(\frac{x\!-\!\mu}{s}\,\pi\right)\right]\, & \hbox{ pour }\mu-s \le x \le \mu+s\\0 & sinon\end{cases}

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi du cosinus surélevé est

F(x;\mu,s)=\begin{cases}0 & \hbox{ pour }x<\mu-s,\\ \frac{1}{2}\left[1+\frac{x-\mu}{s}+\frac{1}{\pi}\sin\left(\frac{x-\mu}{s}\pi\right)\right] & \hbox{ pour }\mu-s \le x \le \mu+s, \\ 1 & \hbox{ pour }x>\mu+s. \end{cases}

Moments[modifier | modifier le code]

Les moments de la loi du cosinus surélevé sont plutôt compliqués, mais sont cependant beaucoup plus simple dans le cas de la loi du cosinus surélevé standard. Cette loi est la loi du cosinus surélevé pour les paramètres \mu=0 et s=1. puisque la densité de probabilité de la loi du cosinus surélevé standard est une fonction paire, les moments d'ordre impaire sont alors nuls. Les moments d'ordre pair sont donnés par :

E(x^{2n})=\frac{1}{2}\int_{-1}^1  [1+\cos(x\pi)]x^{2n}\,dx
= \frac{1}{n\!+\!1}+\frac{1}{1\!+\!2n}\,_1F_2 \left(n\!+\!\frac{1}{2};\frac{1}{2},n\!+\!\frac{3}{2};\frac{-\pi^2}{4}\right)

\,_1F_2 est une fonction hypergéométrique généralisée.

Références[modifier | modifier le code]