Loi uniforme discrète

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Loi uniforme discrète
Image illustrative de l'article Loi uniforme discrète
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
n = 5 où n = b - a + 1

Image illustrative de l'article Loi uniforme discrète
Fonction de répartition
n = 5 où n = b - a + 1. Par convention la fonction de répartition (de masse) Fk(ki) est la probabilité que k ki

Paramètres a \in (\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots )
b \in (\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots)
n = b - a + 1
Support k \in \{a, a + 1, \ldots , b - 1, b\}
Densité de probabilité (fonction de masse) 
    \begin{matrix}
    \frac{1}{n} & \mbox{pour }a\le k \le b\ \\0 & \mbox{sinon }
    \end{matrix}
Fonction de répartition 
    \begin{matrix}
    0 & \mbox{pour }k < a\\ \frac{k - a + 1}{n} & \mbox{pour }a \le k \le b \\1 & \mbox{pour }k > b
    \end{matrix}
Espérance \frac{a+b}{2}
Médiane \frac{a+b}{2}
Variance \frac{n^2-1}{12}
Asymétrie 0\!
Kurtosis normalisé -\frac{6(n^2+1)}{5(n^2-1)}
Entropie \ln(n)
Fonction génératrice des moments \frac{e^{at}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{kt}
Fonction caractéristique \frac{e^{iat}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{ikt}

En théorie des probabilités, la loi discrète uniforme est une loi de probabilité discrète indiquant une probabilité de se réaliser identique (équiprobabilité) à chaque valeur d’un ensemble fini de valeurs possibles.

Description[modifier | modifier le code]

Une variable aléatoire qui peut prendre n valeurs possibles k1 , k2 , …, kn, suit une loi uniforme lorsque la probabilité de n’importe quelle valeur ki  est égale à 1/n.

Un exemple simple de loi discrète uniforme est le lancer d’un dé non biaisé. Les valeurs possibles de k sont 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; et à chaque fois que le dé est lancé, la probabilité d’un score donné est égale à 1/6.

Dans le cas où les valeurs d’une variable aléatoire suivant une loi discrète uniforme sont réelles, il est possible d’exprimer la fonction de répartition en termes de distribution déterministe ; ainsi

\mathrm{F}(k ; a, b, n) = {1 \over n}\sum_{i = 1}^n \mathrm{H}(k - k_i)

où H(x - x0) désigne la fonction marche de Heaviside, est la fonction de répartition (ou distribution cumulative) de la distribution déterministe centrée en x0, aussi appelée masse de Dirac en x0. Cela suppose que les hypothèses suffisantes soient vérifiées aux points de transition.

Cas général[modifier | modifier le code]

Une variable aléatoire X prenant toutes les valeurs possibles d'un ensemble A (de cardinal #A = n ) avec équiprobabilité sera dite uniforme sur A.

Cas particulier important[modifier | modifier le code]

La table ci-contre concerne la loi uniforme sur un ensemble de n entiers consécutifs, qui n'est qu'un cas particulier de loi uniforme, mais un cas particulier important : cela correspond à

\mathrm{A} = [\![a, b]\!], \qquad n = b - a + 1\text{.}

Calcul de probabilités et d'espérance (cas général)[modifier | modifier le code]

Si X suit la loi uniforme sur un ensemble fini A, on dit parfois que la loi de X est \scriptstyle\ \mathbb{U}_\mathrm{A}. On note

\mathbb{P}(\mathrm{X} = x) = \mathbb{U}_\mathrm{A}(\{x\}) = \frac{1\!\!1_\mathrm{A}(x)}{\# \mathrm{A}},

\scriptstyle\ 1\!\!1_\mathrm{A}(.)\ désigne la fonction indicatrice de l'ensemble A. D'un point de vue pratique,

\mathbb{P}(\mathrm{X} \in \mathrm{B}) = \sum_{x \in \mathrm{B}} \frac{1\!\!1_\mathrm{A}(x)}{\# \mathrm{A}} = \frac{\#(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\# \mathrm{A}}.

Pour une fonction φ définie sur A, à valeurs réelles, on a :

\mathbb{E} \left [ \varphi(\mathrm{X}) \right ] = \frac{1}{\# \mathrm{A}} \sum_{x \in \mathrm{A}} \varphi(x).

L'espérance de φ(X) est donc la valeur moyenne de φ sur A. En utilisant les notations classiques de théorie de la mesure, on traduira cela par :

\ \mathbb{P}_\mathrm{X} = \mathbb{U}_\mathrm{A} = \frac{1}{\# \mathrm{A}} \sum_{x \in \mathrm{A}} \delta_x,

où δx désigne la masse de Dirac en x, qui a pour fonction de répartition la fonction marche de Heavyside évoquée plus haut.

Articles connexes[modifier | modifier le code]