Variables indépendantes et identiquement distribuées

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En théorie des probabilités et en statistique, des variables indépendantes et identiquement distribuées, sont des variables aléatoires qui ont toutes la même loi de probabilité et sont indépendantes. On dit que ce sont des variables i.i.d.

Cette situation apparait souvent en statistique. En effet, le caractère étudié sur la population est supposé suivre une loi de probabilité. Lorsque l'on réalise un échantillon, les mesures obtenues sur les individus sélectionnés suivent toutes cette loi prédéfinie. De plus la méthode d'échantillonnage est choisie pour obtenir des résultats indépendants entre eux.

Ces deux conditions sont nécessaires à l'application des théorèmes les plus courants. En particulier le théorème central limite dans sa forme classique énonce que la somme renormalisée de variables aléatoires i.i.d tend vers une loi normale. C'est également le cas de la loi des grands nombres qui assure que la moyenne de variables i.i.d converge vers l'espérance de la loi de probabilité des variables.

Définition[modifier | modifier le code]

La désignation indépendantes et identiquement distribuées regroupe deux notions : l'indépendance et loi de probabilité.

Dans le cas de variable aléatoire réelle, deux variables aléatoires \scriptstyle X_1,X_2, sont dites indépendantes[1] si \scriptstyle \mathbb P(X_1 \leq t_1,X_2\leq t_2)=\mathbb P(X_1 \leq t_1)\times \mathbb P(X_2 \leq t_2) pour tous réels \scriptstyle t_1,t_2. Cette propriété se généralise pour \scriptstyle n variables aléatoires indépendantes, dites mutuellement indépendantes.

Des variables aléatoires ont même loi si leur fonction de répartition sont égales.

Définition — Des variables aléatoires réelles \scriptstyle X_1,X_2,\dots, X_n sont dites indépendantes et identiquement distribuées si elles sont :

  1. indépendantes,
    c'est-à-dire pour toute sous-famille finie \scriptstyle X_{i_1},X_{i_2},\dots, X_{i_k}, \scriptstyle \mathbb P(X_{i_1} \leq t_{i_1},\dots ,X_{i_k}\leq t_{i_k})=\mathbb P(X_{i_1} \leq t_{i_1})\times \dots \times \mathbb P(X_{i_k} \leq t_{i_k}) pour tous réels \scriptstyle t_{i_1},\dots,t_{i_k}, et
  2. de même loi,
    c'est-à-dire \scriptstyle \mathbb P(X_i \leq t_i)=\mathbb P(X_1 \leq t_1) pour tout \scriptstyle i=1,\dots;n.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Variables échangeables[modifier | modifier le code]

Processus[modifier | modifier le code]

Applications[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

Tirages aléatoires[modifier | modifier le code]

Un exemple de tirage aléatoire i.i.d est celui du pile ou face. Chaque lancer de pièce suit la même loi de Bernoulli de paramètre p et est indépendant de ceux qui l'ont précédé ou vont lui succéder. Si p=0.5 (pile et face ont la même chance d'apparition), et que nous avons obtenu 10 fois face lors des 10 tirages précédents, les chances d'obtenir pile et face lors du prochain tirage sont néanmoins égales.

Dans l'exemple précédent, le tirage ne serait plus i.i.d :

  • si on utilise alternativement deux pièces biaisées différemment (p_1 \ne p_2) car dans ce cas les tirages ne suivent pas la même loi. Ils restent néanmoins indépendants.
  • si on choisit systématiquement la pièce ayant le plus de chance de donner face après chaque tirage pile (et que l'on prend les pièces au hasard après un tirage face), les tirages ne sont plus indépendants car conditionnées par le résultat du tirage précédent.

Bruit blanc[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]