Loi stable

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Loi Stable
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Densité de probabilité (ou fonction de masse)
Symmetric stable distributions
Symmetric
α-distribution stable avec une facteur d'échelle unitaire
Skewed centered stable distributions
Skewed centered stable distributions with unit scale factor

Image illustrative de l'article Loi stable
Fonction de répartition
CDF's for symmetric α-stable distributions
CDFs for symmetric
α-stable distributions
CDF's for skewed centered Lévy distributions
CDFs for skewed centered stable distributions

Paramètres α ∈ (0,2] — paramètre de stabilité

β ∈ [−1,1] — paramètre d'asymétrie
c ∈ (0, ∞) — paramètre d'échelle
μ ∈ (−∞, ∞) — moyenne

Support xR, or x ∈ [μ, +∞) if α < 1 and β = 1, or x ∈ (-∞,μ] if α < 1 and β = -1
Densité de probabilité (fonction de masse) pas expressible analytiquement, sauf pour quelques valeur de paramètres
Fonction de répartition pas expressible analytiquement, sauf pour quelques valeur de paramètres
Espérance μ quand α > 1, sinon indéfini
Médiane μ quand β = 0, sinon pas expressible analytiquement
Mode μ quand β = 0, sinon pas expressible analytiquement
Variance 2c2 quand α = 2, sinon indéfini
Asymétrie 0 quand α = 2, sinon indéfini
Kurtosis normalisé 0 quand α = 2, sinon indéfini
Entropie pas expressible analytiquement, sauf pour quelques valeur de paramètres
Fonction génératrice des moments indéfini
Fonction caractéristique

La loi stable ou distribution de Lévy tronquée, nommée d'après le mathématicien Paul Lévy, est une loi de probabilité utilisée en mathématiques, physique et analyse quantitative (finance de marché).

Variable aléatoire stable réelle[1][modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

On dit qu'une variable aléatoire réelle est de loi stable si elle vérifie une des 3 propriétés équivalentes suivantes :

  1. Pour tous réels strictement positifs et , il existe un réel strictement positif et un réel tels que les variables aléatoires et aient la même distribution, où et sont des copies indépendantes de .
  2. Pour tout entier , il existe une constante strictement positive et un réel tels que les variables aléatoires et aient la même distribution, où sont des copies indépendantes de .
  3. Il existe des réels , , et telles que la fonction caractéristique de vérifie, pour tout ,

Remarques :

  • Les paramètres , , et caractérisent la loi de . On écrit alors .
  • Le réel dans est appelé paramètre de stabilité de . Le réel positif est appelé paramètre d'échelle de .
  • Les coefficients , et sont liés par la relation .
  • Pour tout , on a .

Propriétés des lois stables[modifier | modifier le code]

  • Si et sont indépendantes, alors avec

  • Si et , alors .
  • Si avec , alors

.

  • Si avec , alors

Cas symétrique[modifier | modifier le code]

On dit que est de loi symétrique -stable si en plus d'être -stable, les variables aléatoires et sont identiquement distribuées.

  • est de loi symétrique -stable si, et seulement si, . On note simplement dans ce cas .
  • est de loi symétrique -stable si, et seulement si, sa fonction caractéristique vérifie pour tout l'égalité , où est le paramètre d'échelle de .

Vecteur aléatoire stable et variable aléatoire stable complexe[1][modifier | modifier le code]

Vecteur aléatoire stable[modifier | modifier le code]

On dit qu'un vecteur aléatoire de est de loi stable s'il vérifie une des 2 propriétés équivalentes suivantes :

  1. Pour tous réels strictement positifs et , il existe un réel strictement positif et un vecteur de tels que les vecteurs aléatoires et aient la même distribution, où et sont des copies indépendantes de .
  2. Il existe une mesure finie sur la sphère de et un vecteur tels que la fonction caractéristique de vérifie, pour tout ,

est le produit scalaire classique sur .

Remarques :

  • La paire est unique.
  • Le réel est appelé paramètre de stabilité de .
  • Les coefficients , et sont liés par la relation .
  • On dit que est de loi symétrique -stable si en plus d'être -stable, les variables aléatoires et sont identiquement distribuées. Dans ce cas, sa fonction caractéristique est donnée, pour tout , par .

Propriétés des vecteurs aléatoires stables[modifier | modifier le code]

  • Si est un vecteur -stable, alors, pour tous réels , la variable aléatoire réelle est -stable.
  • Si et, pour tous réels , la variable aléatoire réelle est -stable, alors le vecteur est -stable.
  • Si, pour tous réels , la variable aléatoire réelle est symétrique -stable, alors le vecteur est symétrique -stable.

Variable aléatoire stable complexe[modifier | modifier le code]

On dit qu'une variable aléatoire complexe est de loi -stable, si le vecteur de est -stable.

On dit de plus que la loi de est isotrope si, pour tout , les variables aléatoires et sont identiquement distribuées. Dans ce cas, sa fonction caractéristique vérifie, pour tous complexes , , où est un réel positif appelé paramètre d'échelle de .

Représentation en série de LePage[1][modifier | modifier le code]

Cas symétrique réel[2][modifier | modifier le code]

Soit . On pose . Soit et deux processus mutuellement indépendants de variables aléatoires définis sur le même espace de probabilité satisfaisant les propriétés suivantes :

  1. Les , , sont les temps d'arrivée d'un processus de Poisson d'intensité 1 ; c'est-à-dire, pour tous , on a , où est une suite de variables aléatoires exponentielles de paramètre 1 indépendantes.
  2. Les , sont des variables aléatoires réelles, symétriques, indépendantes, identiquement distribuées et vérifiant .

Alors, la série converge presque sûrement. De plus, elle est de loi symétrique -stable et son paramètre d'échelle vérifie .

Cas isotrope complexe[3][modifier | modifier le code]

Soit . On pose . Soit et deux processus mutuellement indépendants de variables aléatoires définis sur le même espace de probabilité satisfaisant les propriétés suivantes :

  1. Les , , sont les temps d'arrivée d'un processus de Poisson d'intensité 1.
  2. Les , , sont des variables aléatoires complexes, isotropes, indépendantes, identiquement distribuées et vérifiant , où désigne la partie réelle de .

Alors, la série converge presque sûrement. De plus, elle est de loi isotrope -stable et son paramètre d'échelle vérifie .

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Elle a pour cas particuliers :

  • La loi de Lévy (paramètres α=1/2 et beta=1), définie par une formule analytique explicite.
  • La loi normale (paramètre α=2), définie par une formule analytique explicite.
  • La loi de Cauchy (paramètre α=1), définie par une formule analytique explicite.

Gnedenko et Kolmogorov ont établi une généralisation du théorème central limite selon laquelle la somme de variables aléatoires ayant des queues de distribution décroissantes selon 1/|x|α+1 avec 0 < α < 2 (ayant donc une variance infinie) tend vers une loi stable de paramètre α.

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c (en) Samorodnitsky, G. and Taqqu, M. S., Stable Non-Gaussian Random Processes. Stochastic Models with Infinite Variance, Chapman and Hall, London, (ISBN 0-412-05171-0)
  2. (en) Marcus, M. B. and Pisier, G., « Characterizations of almost surely continuous p-stable random Fourier series and strongly stationary processes », Acta Math.,‎ , p. 245-301
  3. (en) Kôno, N. and Maejima, M., « Hölder continuity of sample paths of some self-similar stable processes », Tokyo Journal of Mathematics,‎ , p. 93-100

Liens externes[modifier | modifier le code]