Loi inverse-gaussienne

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Loi inverse-gaussienne
Image illustrative de l'article Loi inverse-gaussienne
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

Paramètres
Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Fonction de répartition

where est la fonction de répartition de la loi normale

Espérance
Mode
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse-gaussienne (ou loi gaussienne inverse ou encore loi de Wald) est une loi de probabilité continue à deux paramètres dont le support est . Le nom Wald est issu de celui du statisticien Abraham Wald.

Le terme « inverse » ne doit pas être mal interprété, la loi est inverse dans le sens suivant : la valeur du mouvement brownien à un temps fixé est de loi normale, à l'inverse, le temps en lequel le mouvement brownien avec une dérive positive (drifté) atteint une valeur fixée est de loi inverse-gaussienne.

Sa densité de probabilité est donnée par

est son espérance et est un paramètre de forme.

Lorsque tend vers l'infini, la loi inverse-gaussienne se comporte comme une loi normale, elle possède plusieurs propriétés similaires avec cette dernière.

La fonction génératrice des cumulants (logarithme de la fonction caractéristique) de la loi inverse-gaussienne est l'inverse de celle de la loi normale.

Pour indiquer qu'une variable aléatoire X est de loi inverse-gaussienne de paramètres et , on utilise la notation

Propriétés[modifier | modifier le code]

Somme[modifier | modifier le code]

Si les variables aléatoires , ont pour loi respectivement, et sont indépendantes, alors leur somme est de loi inverse-gaussienne :

Il est à remarquer que

est constant pour tout i. C'est une condition nécessaire pour cette formule de sommation.

Échelle[modifier | modifier le code]

Si X est de loi inverse-gaussienne, alors pour tout , tX est de loi inverse-gaussienne dont les paramètres sont multipliés par t :

Famille exponentielle[modifier | modifier le code]

La loi inverse-gaussienne est une famille exponentielle à deux paramètres avec pour paramètres naturels et , et pour statistiques naturelles X et 1/X.

Lien avec le mouvement brownien[modifier | modifier le code]

Le processus stochastique défini par

est le mouvement brownien standard et , est un mouvement brownien drifté par .

Ainsi, le temps d'atteinte (ou premier temps de passage) de la valeur (ou niveau) fixé par X est aléatoire et de loi inverse-gaussienne :

Pour un drift nul[modifier | modifier le code]

Un cas particulier usuel de l'explication précédente est le cas où le mouvement brownien n'a pas de drift. Dans ce cas, le paramètre tend vers l'infini, et le temps d'atteinte d'une valeur fixée est une variable aléatoire de densité de probabilité celle de la distribution de Lévy avec paramètre  :

Maximum de vraisemblance[modifier | modifier le code]

Considérons le modèle donné par

où tous les sont connus, sont inconnus et où les variables indépendantes ont pour fonction de vraisemblance :

En résolvant l'équation de vraisemblance, on obtient les estimées suivantes :

et sont indépendants et

Simulation numérique de la loi inverse-gaussienne[modifier | modifier le code]

L'algorithme suivant peut être utilisé pour générer des valeurs de la loi inverse-gaussienne[1].

À partir de la loi normale centrée réduite

Considérons le carré :

et utilisons la relation

À partir de la loi uniforme continue sur [0,1]

Si

alors on utilise

sinon

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

La convolution de la loi inverse-gaussienne et de la loi exponentielle est utilisée comme modélisation du temps de réponse en psychologie[2]. Elle est appelée loi ex-Wald.

Historique[modifier | modifier le code]

Cette loi fut initialement utilisée par Erwin Schrödinger en 1915 comme temps d'atteinte du mouvement brownien[3]. Le nom « inverse-gaussienne » (inverse Gaussian en anglais) fut proposé par Tweedie en 1945[4]. Abraham Wald réutilise cette loi en 1947 comme la forme limite d'un échantillon dans un test. Tweedie détaille des propriétés statistiques de cette loi en 1957.

Logiciel[modifier | modifier le code]

Le langage de programmation R possède cette loi[5].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Generating Random Variates Using Transformations with Multiple Roots by John R. Michael, William R. Schucany and Roy W. Haas, American Statistician, Vol. 30, No. 2 (May, 1976), pp. 88–90
  2. (en) Schwarz W (2001) The ex-Wald distribution as a descriptive model of response times. Behav Res Methods Instrum Comput 33(4):457-469
  3. Schrodinger E (1915) Zur Theorie der Fall—und Steigversuche an Teilchenn mit Brownscher Bewegung. Physikalische Zeitschrift 16, 289-295
  4. Folks JL & Chhikara RS (1978) The inverse Gaussian and its statistical application - a review. J Roy Stat Soc 40(3) 263-289
  5. http://www.ci.tuwien.ac.at/~hornik/R/R-FAQ.html
  • The inverse gaussian distribution: theory, methodology, and applications by Raj Chhikara and Leroy Folks, 1989 ISBN 0-8247-7997-5
  • System Reliability Theory by Marvin Rausand and Arnljot Høyland
  • The Inverse Gaussian Distribution by Dr. V. Seshadri, Oxford Univ Press, 1993