Axiomes des probabilités

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Dans la théorie des probabilités, une mesure de probabilité (ou plus brièvement probabilité) est une application qui à un événement A quelconque associe un nombre réel (noté ). Une mesure de probabilité doit satisfaire les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andreï Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés.

Une mesure de probabilité est toujours définie sur un espace probabilisable c'est-à-dire sur un couple constitué d'un ensemble d'éventualités, l'univers Ω, et d'une tribu de parties de l'univers Ω. Les éléments de la tribu sont appelés les événements. Ainsi la mesure de probabilité est une application de dans

Premier axiome[modifier | modifier le code]

Pour tout événement  :

C'est-à-dire que la probabilité d'un événement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Deuxième axiome[modifier | modifier le code]

désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée,

,

C'est-à-dire que la probabilité de l'événement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des événements élémentaires est égale à 1.

Troisième axiome[modifier | modifier le code]

Toute famille dénombrable d'événements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), satisfait :

.

C'est-à-dire que la probabilité d'un événement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'événements est égale à la somme des probabilités de ces événements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les événements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

Conséquences[modifier | modifier le code]

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

Remarque : en particulier, cela interdit à l'univers d'être vide, le deuxième axiome exigeant que sa mesure vaille 1 (et ne soit donc pas nulle a fortiori).

  • Si , sont deux événements incompatibles (ou disjoints), alors
  • Plus généralement, si est une famille d'événements 2 à 2 incompatibles, alors
  • ;

Cette relation signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence . Cette relation découle de ce que B est réunion disjointe de et de

  • En particulier, si , alors

C'est la propriété de croissance de la probabilité. En effet, dans le cas particulier où , la propriété précédente s'écrit

où le premier terme est clairement positif ou nul.
  • Dans le cas particulier où cela donne que, pour tout événement ,

Ceci signifie que la probabilité pour qu'un événement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'événement contraire que celle de l'événement lui-même.

  • Pour tous événements , ,

Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des événements ou se réalise est égale à la somme des probabilités pour que se réalise, et pour que se réalise, moins la probabilité pour que et se réalisent simultanément. De même,

qui donne la probabilité de la réunion de n ensembles non nécessairement disjoints.

  • Par récurrence, l'inégalité obtenue pour n=2 se généralise :

Limites croissantes et décroissantes ou Propriété de la continuité monotone[modifier | modifier le code]

  • Toute suite croissante d'événements satisfait :

C'est-à-dire que la probabilité de la limite d'une suite croissante d'événements (qui est dans ce cas la réunion - dénombrable - de tous les événements de cette suite) est égale à la limite de la suite numérique des probabilités de ces événements.

  • Toute suite décroissante d'événements satisfait :

C'est-à-dire que la probabilité de la limite d'une suite décroissante d'événements (qui est dans ce cas l'intersection - dénombrable - de tous les événements de cette suite) est égale à la limite de la suite numérique des probabilités de ces événements.

  • Inégalité de Boole. Toute suite d'événements satisfait :
  • Signalons deux conséquences importantes de l'inégalité de Boole :

Formulation à partir de la théorie de la mesure[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorie de la mesure.

De manière équivalente, on définit plus simplement le triplet représentant un espace probabilisé, comme un espace mesuré dont la mesure, , a la particularité d'avoir une masse totale égale à 1 :

En théorie de la mesure, les événements sont appelés « ensembles mesurables ». Ce mini-lexique permet de traduire les résultats de la théorie de la mesure et de l'intégration de Lebesgue en termes probabilistes.